Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет управления

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_60var.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

935.94 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

3.Вычислите .

А⁴_{6 =}6!/(6-4)! = 3*4*5*6 = 360,

А^4_7 = 7!/3! = 4*5*6*7 =20*42 = 840,

C^5_9 = 9!/(5!*4!) = 6*7*8*9/24 = 2*7*9 = 126,

C^7_8 = 8!/(7!*1!) = 8,

P_1 = 1! = 1

P_6 = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

4.С.в. имеет ряд распределения: . Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли эти события.

P(2<X<6) = P(X=4) = 0,2

P(1<X<3) = P(X=2) = 0,2

Эти события независимы

5.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке [-5,20]. Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(2<X<6) = (17-4)/25 = 13/25

P(-1<X) = (17+1)/25 = 18/25

P(X<15) = (15+5)/25 = 20/25 = 0.8

События зависимы

1.Укажите формулы математического ожидания и дисперсии д.С.В.

1а.

2.Дайте определение нормально распределенной с.в., каков смысл параметров распределения.

Нормальное распределение — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

3.С.в. равномерно распределена в круге радиусом 5 с центром в точке (0,0). Чему равно , где -функция распределения упомянутой с.в..

Функция распределения: F(x) = x*y/(25*pi)

F(0,0) = 0

F(0,5) = F(5,0) = 1/(5*pi)

F(5,5) = 1/pi

4.Бросают сразу два игральных кубика. Найдите условную вероятность выпадения обеих четных цифр при условии, что выпали цифры, в сумме большие 10.

Условие: сумма больше 10, т.е. выпало 5 и 6, 6 и 5 или 6 и 6. Должно выпасть 6 и 6. Итого: вероятность 1/3.

5.Напишите плотность вероятности и функцию распределения с.в. , распределенной по показательному закону с , найдите плотность вероятности с.в. .

Плотность: f_X(x) = 2*e^(-2x) при x>=0, иначе =0

Функция распределения: F_X(x) = 1-e^(-2x) при x>=0, иначе =0.

1.Укажите определение условной вероятности события по отношению к событию .

1А. Это вероятность события , найденная при условии, что произошло событие .

2.Что такое геометрическая вероятность.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

3. В семье четыре ребенка. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдите вероятность, что среди этих детей: а) есть хотя бы один мальчик; б) не менее двух мальчиков.

А) P(хотя бы 1 мальчик) = P(1 мальчик)+P(2 мальчика)+P(3 мальчика)+P(4 мальчика) = С^1_4*1/16 + C^2_4*1/16 + C^3_4*1/16 + C^4_4*1/16 = (4+6+4+1)/16 = 15/16

Б) P(больше или равно 2 мальчиков) = P(2 мальчика)+P(3 мальчика)+P(4 мальчика) = C^2_4*1/16 + C^3_4*1/16 + C^4_4*1/16 = (6+4+1)/16 = 11/16

4. В ящике лежат 3 новых и 4 игранных тенисных мяча. Для тренировки спортсмен взял наугад 2 мяча, поиграл ими и положил назад в ящик. Для игры он опять наугад взял один мяч. Какова вероятность, что этот мяч новый?

I игра:

А_1 = 2 новых мяча

А_2 = 1 новый, 1 игранный

А_3 = 2 игранных

P(A_1) = C^2_3/C^2_7 = 3/21 = 1/7

P(A_2) = (C^1_3*C^1_4)/C^2_7 = (3*4)/21 = 12/21

P(A_2) = C^2_4/C^2_7 = 6/21

II игра:

B_1 = взял новый мяч

По формуле полной вероятности:

P(B_1) = 1/7*1/7 + 12/21*2/7 + 6/21*3/7 = (3+24+18)/147 = 45/147.

5.С.в. распределена биномиально с параметрами . Найти ряд распределения с.в. , вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(x^2=0) = C^0_4 * p^0 * q^4 = 1/16

P(x^2=1) = C^1_4 * p^1 * q^3 =4*1/16 = 1/4

P(x^2=4) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(x^2=9) = C^3_4 * p^3 * q^1 = 1/4

P(x^2=16) = C^4_4 * p^4 * q^0 = 1/16

P(X=2) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(X>0) = 1-1/16 = 15/16

P(Z=4) = P(X=2) = 3/8

Первые два события зависимы

По каким формулам определяется математическое ожидание и дисперсия н.с.в. .

1б. ;

2.Дайте определение с.в., распределенной по закону Пуассона; укажите ее математическое ожидание.

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

Это распределение задаёт случайную величину, распределённой по закону Пуассона.

3.Для д.с.в. с рядом распределения составьте ряды распределения с.в. и .

P(y=x-1=-5) = 0,1

P(y=x-1=-2) = 0,2

P(y=x-1=0) = 0,4

P(y=x-1=2) = 0,1

P(y=x-1=3) = 0,1

P(y=x-1=5) = 0,1

P(Z=0) = 0,3

P(Z=1) = 0,4

P(Z=3) = 0,1

P(Z=4) = 0,1

P(Z=6) = 0,1

4.Берут сразу две карты из колоды в 36 карт. Найдите условную вероятность взять туза, при условии, что одна из взятых карт десятка.

Р(взять туза) = 2 * 4/36*4/35

5.Напишите плотность и функцию распределения с.в. , где с.в. распределена по нормальному закону с параметрами .

Плотность: где математическое ожидание µ = 22, дисперсия D = 9*25+7 = 232 = σ^2.

Функция распределения F(x) – стоит всего лишь взять интеграл от плотности.

1.По каким формулам считается математическое ожидание и дисперсия с.в. , распределенной по равномерному закону на отрезке .

1б. ;

2.Дайте определение биномиально распределенной с.в., укажите ее числовые характеристики.

Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину :

Тогда , число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с степенями свободы и вероятностью «успеха» . Пишем: . Её функция вероятности задаётся формулой:

где — биномиальный коэффициент.

Построенная случайная величина – биномиально распределённая случайная величина.

3.Для д.с.в. с рядом распределения составьте ряд распределения с.в. и вычислите ее математическое ожидание.

P(Z=0) = 0,3

P(Z=1) = 0,4

P(Z=3) = 0,1

P(Z=4) = 0,1

P(Z=6) = 0,1

MZ = 0,4*1+0,1*3+0,1*4+0,1*6 = 0,4+0,3+0,4+0,6 = 1,7

4.Бросают одновременно два игральных кубика. Найдите условную вероятность того, что сумма выпавших очков больше 10 при условии, что произведение выпавших очков не меньше 10.

Условие: произведение выпавших очков больше или равно 10, т.е. возможны варианты (16 штук):

2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-6, 6-5

Подходящие нам варианты (сумма больше 10):

5-6, 6-6, 6-5.

Итого: вероятность: 3/16.

5.С.в. распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .Найдите вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(0<X<2) = F(2)-F(0) = 0.5*(-erf(-2/(3*sqrt{2})))

P(1<X<4) = F(4)-F(1) = 0.5*(erf(2/(3*sqrt{2}))-erf(-1/(3*sqrt{2})))

Erf – это интеграл Лапласа (см.выше)

Это независимые события

1.Событие называется зависимым от события если

1б

2.Опишите формулы, связывающие плотность и функцию распределения с. в. .

Производная функции распределения F(x) равна плотности f(x).

3.Для д.с.в. с рядом распределения составьте ряд распределения с.в. и постройте график ее функции распределения.

P(Z=0) = 0,3

P(Z=1) = 0,4

P(Z=3) = 0,1

P(Z=4) = 0,1

P(Z=6) = 0,1

MZ = 0,4*1+0,1*3+0,1*4+0,1*6 = 0,4+0,3+0,4+0,6 = 1,7

График постройте сами в приложении «Построитель графиков» на Вконтакте.

4.С.в. имеет ряд распределения: и . Найти где обозначает функцию распределения с.в.

P = 1-0,5-0,1-0,1 = 0,3

MX = 0,5+0,4+0,5+0,3*a = 1,4+0,3*a = 3  a = 5,33333… .

F(2) = P(X<2) = 0,5

F(5) = P(X<5) = 0,5+0,1 = 0,6

F(6) = P(X<6) = 1

5.Найдите вероятность, что за 100 бросков монеты гербов выпадет не более 60.

P(60) = C^60_100 / 2^100

1.Укажите формулы, по которым можно найти математическое ожидание и дисперсию с.в. , распределенной по закону Пуассона с параметром .

1в. ;

2.Опишите формулу для дисперсии суммы двух с.в..

D(X+Y)=DX+DY+2*cov(X,Y), где cov(X,Y) – коэффициент ковариации случайных величин X и Y.

3.С.в. равномерно распределена на отрезке [10,20]. Найдите вероятности событий , , выясните, зависимы ли первые два события.

P(X>15) = (20-15)/10 = 0.5

P(X<18) = (18-10)/10 = 0.8

P(X^2<225) = P(-15<X<15)=(15-10)/10 = 0.5

События зависимы

4. Написать формулу и нарисовать график для функции распределения с.в. с рядом распределения , найдите вероятность того, что .

F(x) = 0 при x<0

0,2 при 0<=x<2

0,4 при 2<=x<4

0,5 при 4<=x<6

1 при 6<=x.

График постройте сами в приложении «Построитель графиков» на Вконтакте.

P(X^2<30) = P(-sqrt{30}<X<sqrt{30}) = F(sqrt{30}) = 0,2+0,2+0,1 = 0,5

1.Укажите формулу Байеса

1б.

2.Опишите интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра- Лапласа: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_п(т₁, т₂) того, что событие А появится в п испытаниях от т₁ до т₂ раз. Приближенно равна определенному интегралу

где

Данный интеграл называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х)

3.В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. От первого поступило 500 деталей, от второго -200 и от третьего -300. Первый дает 3% ,второй-1% , третий-2% брака. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.

P = (500*0,03 + 200*0,01 + 300*0,02)/1000 = (15+2+6)/1000 = 0,023

4.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке [10,20]. Найти вероятности событий и условную вероятность .

P(X<15) = (15-10)/10 = 0.5

P(X>5) = (20-10)/10 = 1

P((X<18)|(X>12)) = (18-12)/10 = 0.5

5.В урне лежат 3 шара белых, 3 шара красных и 3 шара черных. Берут сразу 3 шара. Какова вероятность: а) все 3 взятых шара одинакового цвета; б) все 3 взятых шара разного цвета; в)среди взятых шаров есть белый?

А) P = (C^3_3 + C^3_3 + C^3_3)/C^3_9

Б) P = (C^1_3*C^1_3*C^1_3)/C^3_9

В) P = (C^1_3+C^2_3+C^3_3)/C^3_9

1.Укажите формулу, определяющую функцию распределения вероятности с.в.

1г. .

2.Опишите Центральную Предельную Теорему.

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и , соответственно. Пусть также