1.Укажите формулы математического ожидания и дисперсии д.С.В.

1г.

2.Докажите зависимость двух несовместных событий с положительными вероятностями.

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)

Но т.к. события несовместны, то P(A+B) = P(A)+P(B), откуда P(AB)=0, что невозможно при независимых событиях ( т.к. в этом случае P(AB)=P(A)*P(B) = 0, что невозможно, т.к. оба сомножителя больше нуля по условию).

3. В урне 2 белых шара и 4 черных. Берем сразу 2 шара. Какова вероятность, что они: а)черные; б) белые

А) P = C^2_4/C^2_6

Б) P = C^2_2/C^2_6

4.С.в. имеет ряд распределения: . Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли эти события.

P(2<X<6) = P(X=4) = 0,2

P(1<X<5) = P(X=2 или X=4) = 0,2 + 0,2 = 0,4

Это зависимые события

5.Напишите плотность вероятности и функцию распределения с.в, распределенной по равномерному закону на отрезке [-5,20]. Постройте графики этих функций.

Плотность вероятности: f(x) = 1/25 при -5<=x<=20, = 0 иначе.

Функция распределения: F(x) = 0 при x<-5, = (x+5)/25 при -5<=x<=20, = 1 при x>20.

Графики постройте в приложении «Построитель графиков» на Вконтакте или с помощью бесплатной программы Advanced Grapher.

13

1.Укажите определение условной вероятности события по отношению к событию .

1А. Это вероятность события , найденная при условии, что произошло событие .

2.Если из появления события следует появление события , то что представляют собой события .

А+B = B

АВ = В

3.Вычислите .

А³_{7 =} 7!/(7-3)! = 5*6*7 = 210,

А^2_9 = 9!7! = 8*9 = 72,

C^6_8 = 8!/(6!*2!) = 7*8/2 = 28,

C^7_9 = 9!/(7!*2!) = 8*9/2 = 36,

P_4 = 4! = 24

P_6 = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

4.С.в. Z имеет ряд распределения: . Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли эти события.

P(2<X<6) = P(X=3 или X=4) = 0,2+0,2 = 0,4

P(1<X<3) = 0

Невозможное событие зависимо с любым событием.

5.В ящике лежат 3 новых и 4 игранных тенисных мяча. Для тренировки спортсмен взял наугад 2 мяча, поиграл ими и положил назад в ящик. Для игры он опять наугад взял один мяч. Какова вероятность, что этот мяч новый?

I игра:

А_1 = 2 новых мяча

А_2 = 1 новый, 1 игранный

А_3 = 2 игранных

P(A_1) = C^2_3/C^2_7 = 3/21 = 1/7

P(A_2) = (C^1_3*C^1_4)/C^2_7 = (3*4)/21 = 12/21

P(A_2) = C^2_4/C^2_7 = 6/21

II игра:

B_1 = взял новый мяч

По формуле полной вероятности:

P(B_1) = 1/7*1/7 + 12/21*2/7 + 6/21*3/7 = (3+24+18)/147 = 45/147.

14

Укажите формулу суммы:

1а. ;

2.С.в. принимает все натуральные значения от 0 до 20 с равной вероятностью. Найдите математическое ожидание .

Заметим, что раз случайная величина принимает только натуральные значения, то её значения принадлежат множеству {1,2,3,4,…,19,20} – всего 20 элементов. Вероятность каждого по условию 1/20.

MX = 1/20(1+2+3+4+19+20) = ((1+20)*20/2)/20 = 21/2 = 10,5

3.Опишите формулу Бернулли.

Пусть проводятся независимые испытания. Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

Это и есть Формула Бернулли.

4.Составьте ряд распределения с.в., распределенной по биномиальному закону с параметрами .

P(x=0) = C^0_4 * p^0 * q^4 = 1/81

P(x=1) = C^1_4 * p^1 * q^3 = 4*8/81 = 32/81

P(x=2) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 6*4/81 = 24/81

P(x=3) = C^3_4 * p^3 * q^1 = 32/81

P(x=4) = C^4_4 * p^4 * q^0 = 1/81

5.В урне было 5 шаров, среди них один белый. Один шар потерялся. Какова теперь вероятность взять из урны белый шар?

P = 1/5*0 + 4/5*1/4 = 1/5 = 0,2

16

1.Событие называется зависимым от события если

1б.

2.Приведите пример случайного события вероятности 2/7.

В мешке лежат карточки с номерами {2,4, 381,567, 4567,34567, 234567, 1234567}. Вероятность вытащить наугад карточку с чётным числом равна как раз 2/7.

3.Корреляционный момент с.в. равен 2, дисперсии этих с.в. равны 3 и 5. Найти дисперсию суммы этих с.в.

Cov(X,Y) =2

DX = 3

DY = 5

D(X+Y) = DX+DY+2*cov(X,Y) = 3+5+2*2 = 12.

4.С.в. имеет ряд распределения: и . Найти , где обозначает функцию распределения с.

P = 1-0.5-0.1-0.1 = 0.3

MX = 0,5+0,4+0,5+0.3*a = 3  0.3*a = 1.6  a = 5+1/3 = 5.333333….

F(2) = P(X<2) = 0.5

F(5) = P(X<5) = 0,5+0,1 = 0,6

F(6) = P(X<6) = 1

5. С.в. имеет ряд распределения: . Найти , при котором .

MX = 0,5+0,4+0,5+0,3*a = 1,4+0,3*a>3  0,3*a>1.6  a>5,33333… .

17

1.Укажите формулы, по которым можно найти математическое ожидание и дисперсию с.в., распределенной по закону Пуассона с параметром .

1в ;

2.Опишите формулу Бернулли и условия ее применимости.

Пусть проводятся независимые испытания. Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

Это и есть Формула Бернулли.

3.С.в. принимает целые значения от 1 до 10 с равной вероятностью. Найти ее математическое ожидание.

MX = 0.1*(1+2+3+4+…+10) = 0.1*(1+10)*10/2 = 1.1*5 = 5.5

4.Из букв слова КАМЕРА выбирают случайно 4 буквы и приставляют друг к другу в порядке выбора. Какова вероятность, что получится слово МЕРА?

Вероятность вытянуть первой букву М = 1/6.

Вероятность вытянуть второй букву Е = 1/5.

Вероятность вытянуть третьей букву Р = 1/4.

Вероятность вытянуть четвёртой букву А = 1/3.

Общая вероятность составить слово МЕРА по этим условиям: P = 1/(3*4*5*6) = 1/360.

5. Написать формулу и нарисовать график для функции распределения с.в. с рядом распределения . Найти числовые характеристики этой с.в.

F(x) = 0 при x<0

F(x) = 0,2 при 0<=x<2

F(x) = 0,4 при 2<=x<4

F(x) = 0,5 при 4<=x<6

F(x) = 1 при 6<=x

График нарисуйте сами в приложении «Построитель графиков» на Вконтакте.

MX = 0,4+0,4+3 = 3,8

M(X^2) = 4*0,2+16*0,1+36*0,5 = 0,8+1,6+18 = 20,4

DX = 20,4 – (3,8)^2 = 20.4 – 14.44 = 5.96

18

1.Укажите формулу Байеса

1б.

2.Опишите формулу, невыполнение которой равносильно зависимости событий .

Формула: P(AB) = P(A)*P(B)

3.Из полной колоды (36 карт) берут одну карту, потом, не возвращая взятую карту в колоду, берут вторую. Какова вероятность, что эта вторая есть Туз.

P = 4/36*3/35 + 32/36*4/35

4.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке [10,20]. Найти вероятности событий , а также и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(10<X<20) = 1

P(10<X<14) = 4/10 = 0.4

P((X<10)/(X>18)) = 0

5.В урне лежат 3 шара белых, 3 шара красных и 3 шара черных. Берут сразу 3 шара. Какова вероятность, что все 3 взятых шара: а) одинакового цвета; б) разного цвета(т.е. среди взятых нет двух шаров одного цвета); в) среди взятых шаров есть шар белого цвета ?

А) P = (C^3_3 + C^3_3 + C^3_3)/C^3_9

Б) P = (C^1_3*C^1_3*C^1_3)/C^3_9

B) P = C^1_3/C^3_9

19

1. Укажите формулу, определяющую функцию распределения вероятности с.в.

1г. .

2.Опишите формулу Байеса и условия ее применимости.

Формула Байеса:

,

где

 — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

 — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

 — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

 — полная вероятность наступления события B.

3. В безрыбное озеро запустили 5000 рыб, из них 500 окольцованных. На следующий день рыбак удочкой поймал 1 рыбу. Какова вероятность, что она окольцована? К вечеру того же дня рыбаки сетью поймали 100 рыб. Сколько примерно из них окольцованы?

А) P(поймать окольцованную рыбу) = 500/5000 = 0.1

Б) Предполагается, что рыбак, поймавший рыбу, не возвращает её в пруд. Осталось 499 окольцованных рыб из 4999 рыб всего. Примерно 10 рыб из пойманных в сеть окольцованы.

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 2.

Условие: выпало 3,4,5 или 6. Должна выпасть нечётная цифра, т.е. 3 или 5. Итого: вероятность равна 2/4 = 0,5.

5.С.в. распределена биномиально с параметрами . Найти ряд распределения с.в. , вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(x^2=0) = C^0_4 * p^0 * q^4 = 1/16

P(x^2=1) = C^1_4 * p^1 * q^3 =4*1/16 = 1/4

P(x^2=4) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(x^2=9) = C^3_4 * p^3 * q^1 = 1/4

P(x^2=16) = C^4_4 * p^4 * q^0 = 1/16

P(X=2) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(X>0) = 1-1/16 = 15/16

P(Z=4) = P(X=2) = 3/8

Первые два события зависимы

20

1. Укажите расширенную формулу сложения вероятностей:

1в. ;

2.Опишите формулу умножения.

.

3.Дисперсии с.в. есть 3 и 5, а дисперсия их суммы равна 12. Могут ли эти с.в. быть независимыми? Отвечайте аргументированно.

12 = D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2*cov(X,Y) = 8 + 2*cov(X,Y)  cov(X,Y) = 2, что не равно 0  события зависимы

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 4.

Условие: выпало 5 или 6. Должна выпасть нечётная цифра, т.е. 5. Значит, вероятность равна ½.

5. С.в. распределена по показательному закону с параметром . Найдите вероятности событий . Найдите также вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(X<1) = F(1) = 1-e^(-2*1) = 1-e^(-2)

P(0<X<2) = F(2) = 1-e^(-4)

События зависимы

21

1.Укажите формулу Бернулли.

1в; ;

2.Опишите формулу полной вероятности и условия ее применимости.

Пусть дано вероятностное пространство  , и полная группа попарно несовместных событий  , таких что            . Пусть   — интересующее нас событие. Тогда

.