64. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что

    1. Оба шара белые?

    2. Шары разного цвета?

65. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,7, а второго стрелка – 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

66. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что он наберет нужный номер не более чем за три попытки.

67. На 10 карточках написаны буквы: А, А, А, А, А, Р, Р, Р, Д, Д. Наугад берут 5 карточек и прикладывают одну к другой слева направо. Какова вероятность. Что получиться слово РАДАР?

68. Два стрелка, для которых вероятность попадания в цель равна соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определить вероятности событий:

    1. цель поражена двумя пулями;

    2. цель поражена одной пулей;

    3. цель поражена хотя бы одной пулей.

69. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в твердом переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в твердом переплете.

70. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Домашнее задание

71. В коробке лежит 3 буквы разрезной азбуки: буква «М», две буквы «И», четыре буквы «Р». Извлекаем подряд 3 карточки из коробки без возвращения. Определить вероятность того, что в результате извлечения букв образуется слово «МИР».

72. Три студента делают некоторый расчет. Вероятность ошибиться для первого студента составляет 0,1, для второго – 0,15, для третьего – 0,2. Найти вероятности следующих событий:

    1. Все студенты выполнили расчет верно;

    2. Только два студента выполнили расчет верно;

    3. Хотя бы один студент допустил ошибку в расчетею

73. На распродаже к некоторому моменту времени осталось: 1 пара мужской обуви; 2 пары детской и 3 пары женской обуви. Каждый очередной покупатель с равной вероятностью покупает лишь одну пару обуви. Два человека из очереди последовательно приобрели обувь. Найти вероятность того, что

    1. куплена разная обувь;

    2. куплена детская или женская обувь.

74. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

75. Имеется 10 ключей, из которых лишь один подходит к двери. Ключи пробуют подряд. Какова вероятность, что годный ключ попадет на четвертом шаге?

76. Два школьника играют в следующую игру: один загадывает цифру от 1 до 9, второй ее угадывает. Найти вероятность того, что загаданная цифра будет угадана с третьего раза?

Формула полной вероятности. Формула байеса

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий.

2. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.

3. Что такое гипотеза?

4. Каким условиям должны удовлетворять гипотезы.

5. В каких случаях применятся формула полной вероятности? Запишите формулу полной вероятности.

6. Запишите формулу Байеса. В каких случаях она применяется?

Упражнения

Лекция

77. Имеются три урны. В первой урне находится 5белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных шара, в третьей – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из урн и из этой урны наудачу извлекают шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется черным?

78. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% деталей из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во втором – 95%. Выбранная наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена во II цехе?

79. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м заводе, 15% – на 2-м заводе, остальные на 3-м заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96, 0,84, 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

80. В цехе 14 установок с автоматическим контролем и 6 с ручным. Вероятность изготовления некондиционной продукции для установок с автоматическим контролем составляет 0,001, с ручным контролем – 0,002. Какова вероятность того, что взятая наудачу продукция цеха оказалась кондиционной?

81. В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставил 50 изделий, 2-й – 30, 3-й – 20 изделий. Среди изделий 1-го завода 70% первосортных, среди изделий 2-го - 80%, 3-го – 90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность, что это изделие изготовлено 1-м заводом?

82. Имеются две одинаковые урны с шарами. В первой находится 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар, оказавшийся белым. Какова вероятность, что этот шар извлекли из первой урны?

Практика

83. Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй – три белых и пять черных. Из первой и второй урн не глядя берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары из третьей урны перемешиваются и берут из нее наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белый.

84. Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания 1-м стрелком равна 0,6, 2-м – 0,7, 3-м – 0,8. При одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2, при двух – равна 0,6, при трех – цель заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.

85. Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух их трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

86. В первой урне 3 белых и 4 черных шара, во второй урне 2 белых и 6 черных шаров. Из первой и второй урны не глядя достают по одному шару и кладут в третью пустую урну. Затем из третей урны достают наугад один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что из первой и второй урны былы переложены белые шары?

87. В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой коробке 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй 10, из них 3 неисправных. Наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?

88. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого стрелка соответственно равны: 0,7, 0,75, 0,8. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени осталось две пробоины?

89. В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10% телевизоров с дефектом, второго – 5% и третьего – 3%. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25% телевизоров с первого завода, 55% – со второго и 20% – с третьего?

Домашнее задание

90. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали извлечены из третьей партии.

91. На вход радиоприемного устройства с вероятностью 0,9 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,1 только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8 регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха, то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Известно, что приемник показал наличие сигнала. Какова вероятность того, что сигнал действительно пришел?

92. Планируется ракетный залп по кораблю противника. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна 0,4. Вероятность поражения корабля при попадании одной, двух, трех, четырех ракет соответственно равна 0,3; 0,4; 0,5; 0,6. Найти вероятность поражения корабля.

93. Берут две колоды карт по 52 карты и из первой во вторую перекладывают случайным образом 2 карты. Затем из второй колоды берётся одна карта. Какова вероятность, что она окажется дамой?

94. В трёх одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 1 до 9 , во второй от 10 до 20 и в третьей от 21 до 30 включительно. Из случайно взятой урны берётся шар и оказывается, что его номер делится на 5. Какова вероятность, что этот шар взят из первой урны.