Тема 4.

1. а) 2² ; б) 2ⁿ.

2. а).

3. а) нескінченно багато; б) нуль або одна; в) нескінченно багато; г) нуль або одна.

4. а)ДНФ; б)ДНФ, ДДНФ, КНФ; в)КНФ; г)ДНФ, КНФ, ДКНФ; д)ДНФ; е)ДНФ, КНФ; ж)ДНФ, КНФ.

11. а) і б).

Контрольні завдання за курсом "Дискретна математика".

1. Розділ «Множини»

Варіант № 1

1. Фірма має 100 підприємств, причому кожне підприємство випускає хоча б одну продукцію виду А, В, С. Продукцію всіх трьох видів випускають 10 підприємств, продукцію А и В - 18 підприємств, продукцію А и С - 15 підприємств, продукцію В и С - 21 підприємство. Число підприємств, що випускають продукцію А дорівнює числу підприємств, що випускають продукцію В и дорівнює числу підприємств, що випускають продукцію С. Знайти число всіх підприємств.

2. Спростити: È È .

3. Чи є множина А = {1, 2, 3} підмножиною множини В = {{1}, {2, 3}}?

4. Придумати приклад множин А, В, З, кожне з яких має потужність континуума, так, щоб виконувалася рівність: А ÈВ = С.

5. Чи еквівалентні множини A = {x: x² – 8x + 15= 0} й B = {2, 3}?

Вариант № 2

1. У групі спортсменів 30 чоловік. З них 20 займаються плаванням, 18 - легкою атлетикою й 10 - лижами. Плаванням і легкою атлетикою займаються 11 чоловік, плаванням і лижами - 8, легкою атлетикою й лижами - 6 чоловік. Скільки спортсменів займаються всіма трьома видами спорту?

2. Спростити: A(AÈB).

3. У якому випадку А АВ?

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини È .

5. Яке із множин A = {1, 4, 9, 16, 25,…} і B = {1, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8,…} має більшу потужність?

Варіант № 3

1. У студентській групі 20 чоловік. З них 10 мають оцінку “відмінно” по англійській мові, 8 - по математиці, 7 - по фізиці, 4 - по англійській мові й по математиці, 5 - по англійській мові й по фізиці, 4 - по математиці й по фізиці, 3 - по англійській мові, по математиці й по фізиці. Скільки студентів групі не мають відмінних оцінок?

2. Спростити: (A\B) È (A\B).

3. Знайти всі підмножини множини A= {1, 2, 3, 4).

₄

4. Нехай A_n = {0, 1/2ⁿ}. Знайти U A_n.

ⁿ⁼¹

5. Довести, що множини точок контурів всіх трикутників еквівалентні.

Варіант № 4

1. У класі 20 чоловік. На екзаменах з історії, математиці й літературі 10 учнів не одержали ні однієї п'ятірки, 6 учнів одержали 5 по історії, 5 - по математиці й 4 - по літературі; 2 - по історії й математиці, 2 - по історії й літературі, 1 - по математиці й літературі. Скільки учнів одержали 5 по всіх предметах?

2. Спростити: (AB) È (AB).

3. Чи є множина А = {1, 2, 3} підмножиною множини В = {{1}, {2, 3}}?

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (А \ В)  С

5. Чи еквівалентні множини A = {2^x, 0<x< ¥} й B = {2ⁿ, n = 1, 2, …}?

Вариант № 5

1. У спортивному таборі 100 чоловік, що займаються плаванням, легкою атлетикою й лижами. З них 10 займаються й плаванням, і легкою атлетикою, і лижами, 18 - плаванням і легкою атлетикою, 15 - плаванням і лижами, 21 - легкою атлетикою й лижами. Число спортсменів, що займаються плаванням, дорівнює числу спортсменів, що займаються легкою атлетикою, і дорівнює числу спортсменів, що займаються лижами. Знайти це число.

2. Спростити: (AÈB) È(AÈB).

3. Знайти всі підмножини множини A= {1, 2, 3, 4).

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (А \ В) È З

5. Довести, що множини точок контурів всіх трикутників еквівалентні.

Варіант № 6

1. Групі студентів запропоновано три спецкурси: по мультимедиа, штучному інтелекту й імітаційному моделюванню. 22 студента записалися на спецкурс по мультимедиа, 18 - на спецкурс по штучному інтелекті, 10 - на спецкурс по імітаційному моделюванню, 8 - на спецкурси по мультимедиа й штучному інтелекті, 15 - на спецкурси по мультимедиа й імітаційному моделюванню, 7 - на спецкурси по штучному інтелекті й імітаційному моделюванні. 5 студентів записалися на всі три спецкурси. Скільки студентів у групі?

2. Істинна чи неістинна рівність: (A \ B) È(AB) = A?

3. Придумати приклад множин А, В, З, кожне з яких має потужність континуума, так, щоб виконувалася рівність: А ÈВ = С.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (А \ В) È (А \ З).

5. Чи еквівалентні множини A = {x: x²-8x+15= 0} й B = {2, 3}?

Вариант № 7

1. Під час сесії 24 студента групи повинні здати три заліки: по фізиці, математиці й програмуванню. 20 студентів здали залік по фізиці, 10 - по математиці, 5 - по програмуванню, 7 - по фізиці й математиці, 3 - по фізиці й програмуванню, 2 - по математиці й програмуванню. Скільки студентів здали всі три заліки?

2. Спростити: (AÈB) È (AB).

3. Довести, що множина точок A= {(x, y): y = ½x½, -, – 1 £ x £ 1} нескінченна.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (А \ В) È С.

5. Чи еквівалентні множини A = {y: y = x³, 1< x <2} й B = {y: y = 3^x, 3< x < ¥}?

Вариант № 8

У групі перекладачів 15 чоловік володіє англійською мовою, 19 - французьким, 8 - німецьким. 9 перекладачів володіють англійською й французькою мовою, 7 - англійським і німецьким, 6 - французьким і німецьким. 4 перекладача володіють всіма трьома мовами. Скільки перекладачів у групі?

2. Користуючись рівносильними перетвореннями, установити, істинна чи неістинна рівність: А \ (В È З) = (А \ В) È З?

3. У якому випадку А АВ?

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини ( È ) \ (A È B).

5. Чи еквівалентні множини A = {x: x² –3x + 2 = 0} й B = {1, 3}?

Вариант № 9

1. Опитування групи студентів показав, що 70% з них люблять ходити в кіно, 60% у театр, 30% на концерти. У кіно й театр ходять 40% студентів, у кіно й на концерти - 20%, у театр і на концерти - 10%. Скільки студентів (в %) ходять у кіно, театр і на концерти?

2. Істинна чи неістинна рівність: (AB)  (A È В) = В?

3. Привести приклад двох множин А и В, таких, що потужність множини А більше потужності множини В.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини А \ (В С).

5. Чи еквівалентні множини A = {x: x³ – 1 = 0} й B = {x: x² – 3x + 2 = 0}?

Вариант № 10

1. У групі 20 учнів. Після медичного огляду на додаткове обстеження 14 учнів були спрямовані до терапевта, 6 - до окуліста, 5 - до ортопеда. До терапевта й окуліста були спрямовані 3 учня, до терапевта й ортопеда -3, до окуліста й ортопеда - 2. Скільки учнів були спрямовані до терапевта, окулістові й ортопедові?

2. Спростити: ( È ) \ (A È B).

3. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (A  B) È (C \ (A È B)).

4. Знайти всі підмножини множини A= {a, b, c, d}.

5. Чи еквівалентні множини A = {(x, y): y = lnx, 0 < x < ¥} і B = {(x, y): y = sinx, –¥ <x < ¥}?

Вариант № 11

1. При обстеженні ринку попиту інспектор указав в опитному аркуші наступні дані. З 1000 опитаних 811 купують жувальну гумку "Дирол", 752 - "Орбіт" , 418 - "Стиморол", 570 - "Дирол" й "Орбіт", 356 - "Дирол" й "Стиморол", 348 - "Орбіт" й "Стиморол", 297 - всі види жувальної гумки. Показати, що інспектор помилився.

2. Спростити: È(B \ (AÈB)).

3. Придумати приклад множин А, В, З, так, щоб виконувалася рівність: А È В = З, причому А – кінцева множина, У и С – рахункові множини.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини A  (B È C ).

5. Нехай A – множина цілих чисел, а B – множина парних чисел. Які з наступних відносин справедливі: а) A =B; б) A ~ B; в) A ÉB; г) A ÊB; д) A ËB; е) A Î B.

Варіант № 12

1. Всім учасникам автопробігу не повезло. 12 з них загрузли в піску - довелося штовхати машину, 8 знадобилася заміна колеса, у шістьох перегрівся мотор, п'ятеро й штовхали машину й міняли колесо, четверо штовхали машину й остуджували мотор, троє міняли колесо й остуджували мотор. Одному довелося випробувати всі види неполадок. Скільки було учасників?

2. Користуючись рівносильними перетвореннями, установити, істинна чи неістинна рівність: А \ (В С) = (А \В) С?

3. Довести, що множина точок A = {y: y = 2ⁿ, n = 1, 2, …} счетно.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (А \В) С.

5. Чи еквівалентні множини A = {(x, y): y = x³, 1< x <2} й B = {(x, y): y = 3^x, 3< x < ¥}?

Вариант № 13

1. З 10 учасників ансамблю шестеро вміють грати на гітарі, п'ятеро - на ударних інструментах, п'ятеро - на духові. Двома інструментами володіють: гітарою й ударними - троє, ударними й духовими - двоє, гітарою й духовими - четверо. Одна людина грає на всіх трьох інструментах. Інші учасники ансамблю тільки співають. Скільки співаків в ансамблі?

2. Істинна чи неістинна рівність: С)  С È С?

3. Записати рішення системи нерівностей

x-2 > 0

x-5 < 0

у вигляді перетину двох множин.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (B ÈC ) .

5. Довести, що множини A = {(x, y): y = x³, 1< x <2} й B = {y: y = 3^x, 3< x < ¥} еквівалентні.

Варіант № 14

1. В одній студентській групі 10 чоловік можуть працювати на Дельфи, 10 - на Паскале, 6 - на Си. По двох мови знають: 6 чоловік - Дельфи й Паскаль, 4 - Паскаль і Си, 3 - Дельфи й Си. Одна людина знає всі три мови. Скільки студентів у групі?

2. Істинна чи неістинна співвідношення: A C Ì A È В?

3. Придумати приклад множин А, В, З, так, щоб виконувалася рівність: А È В = З, причому А, В, і З – рахункові множини.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини С).

5. Чи еквівалентні множини A = {y: y = 3^x, 0<x< ¥} й B = {y: y = 3ⁿ, n = 1, 2, …}?

Вариант № 15

1. У день авіації на аеродромі всіх бажаючих катали на літаку, планері, дельтаплані. На літаку прокотилися 30 чоловік, на планері - 20, на дельтаплані - 15. І на літаку, і на планері качалося 10 чоловік, на літаку й дельтаплані - 12, На планері й дельтаплані - 5. Два чоловіки прокотилися й на літаку, і на планері, і на дельтаплані. Скільки було бажаючих прокотитися?

2. Істинна чи неістинна рівність: (A È B) \ A = B \ A ?

3. Привести приклад двох множин А и В, таких, що потужність множини А більше потужності множини В.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини С È С

5. Довести, що множини A = {y: y = lnx, 0 < x < ¥} й B = {y: y = sinx, –¥ <x < ¥} еквівалентні.

Варіант № 16

1. Всі грибники повернулися додому з повними кошиками. У десятьох з них у кошиках були білі гриби, у вісімнадцяти - підберезники, у дванадцяти - лисички. Білі й підберезники були в шести кошиках, білі й лисички - у чотирьох, Підберезники й лисички - у п'ятьох. Всі три види грибів були у двох грибників. Скільки було грибників?

2. Істинна чи неістинна рівність: (A È B) \ (AB) = A È B?

3. Довести, що множина точок A= {(x, y): y = ½x½, -, – 1 £ x £ 1} незліченно.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини  (B È C ) .

5. Нехай A – множина точок відрізка [0, 1], а B – множина всіх точок числової осі. Які з наступних відносин справедливі: а) A =B; б) A ~ B; в) A ÉB; г) A ÊB; д) A ËB; е) A Î B.

Варіант № 17

1. Всі туристи взяли в похід консерви. Шість чоловік взяли тушенку, п'ять - сгущенку, вісім - кашу (з м'ясом). У трьох у рюкзаках була тушенка й сгущенка, у двох - тушенка й каша, у трьох - сгущенка й каша, і тільки в одному рюкзаку лежали всі три види консервів. Скільки було туристів?

2. Істинна чи неістинна рівність: С  С \ (С  (AÈB))?

3. Нехай A – множина рішень рівняння x² – 3x + 2 = 0. Записати ця множина двома різними способами.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (BC) \ A .

5. Чи еквівалентні множини A = {x: x² –3x + 2 = 0} й B = {2, 3}?

Вариант № 18

1. Було опитано 70 чоловік. У результаті опитування з'ясували, що 45 чоловік знають англійську мову, 29 - німецький й 9 - обидві мови. Скільки чоловік з опитаних не знає ні англійського, ні німецьких мов?

2. Істинна чи неістинна рівність: (A È B) \ (AB) = A È B?

3. Знайти всі підмножини множини A= {x, y, z}.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини С.

5. Счетно чи множина {(x, y): y = 3^x, 0<x< ¥}?

Варіант № 19

1. У туристичній групі 10 чоловік знають англійську мову, 10 - італійський, 6 - іспанський. По двох мови знають: 6 чоловік - англійський й італійський, 4 - англійський й іспанський, 3 - італійський й іспанський. Одна людина знає всі три мови. Скільки туристів у групі?

2. Спростити .

3. Привести приклад двох множин А и В, таких, що потужність множини А більше потужності множини В.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини С \ (С  (AÈB)).

5. Чи еквівалентні множини A = { 2ⁿ, n = 1, 2, …} і B = {n², n = 1, 2, …}?

Вариант № 20

1. Підприємство оголосило набір робітників на посаді токаря, слюсаря й зварника. У відділ кадрів звернулися 25 чоловік. З них 10 чоловік володіли професією токаря, 15 - слюсарі, 12 - зварника. Професією й токарі й слюсаря володіли 6 чоловік, і токарі, і зварника - 5 чоловік, і слюсарі й зварника - 3 чоловік. Скільки чоловік володіють всіма трьома професіями?

2. Істинна чи неістинна рівність: \ = \ ?

3. Привести приклади множин А, В і С, для яких одночасно виконуються рівності А È В È С = А і А  В  С = С.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини \ .

5. Чи можна побудувати взаємо-однозначна відповідність між множиною раціональних чисел відрізка [0, 1] і множиною раціональних чисел із цього інтервалу? Відповідь обґрунтувати.

Варіант № 21

1. Виявилося, що в групі туристів 15 чоловік були раніше у Франції, 19 - в Італії, 8 - у Німеччині. 9 туристів були у Франції й в Італії, 7 - у Франції й у Німеччині, 6 - і в Італії, і в Німеччині. 4 туриста були у всіх трьох країнах. Скільки туристів були хоча б в одній із трьох країн?

2. Користуючись рівносильними перетвореннями, установити, істинна чи неістинна рівність: А \ (В  С) = (А \ В)  ?

3. Привести приклади множин А и В, для яких рівність È В =

а) виконується; б) не виконується.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини А  (В È ).

5. Знайти потужність множини точок окружності із центром у крапці (0, 0) і радіусом 1.

Варіант № 22

1. Групі студентів з 30 чоловік була запропонована контрольна робота із трьох задач. Першу задачу вирішили 15 студентів, другу - 13, третю - 12. Першу й другу задачі вирішили 7 чоловік, першу й третю - 6, другу й третю - 5 чоловік. Всі три задачі вирішили 2 студента. Скільки студентів із групи не вирішили ні однієї задачі?

2. Користуючись рівносильними перетвореннями, установити, істинна чи неістинна рівність: (В È С) = (А \ В)  ?

3. Привести приклад двох нескінченних множин А и В, таких, що потужність множини А більше потужності множини В.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини А  В  .

5. Знайти потужність множини точок гіперболи y = при x Î ( 3, ¥).

Варіант № 23

1. Аналіз історій хвороб групи з 20 дітей показало, що 10 дітей боліли ветрянкой, 6 - кором, 5 - свинкою. Ветрянкой і кором боліли 3 дитини, ветрянкой і свинкою - 3, кором і свинкою - 2. Всіма трьома хворобами боліла одна дитина. Скільки дітей не боліли ні однієї з перерахованих хвороб?

2. Істинна чи неістинна рівність: С)    С?

3. Довести, що множина точок A= {(x, y): y = ½x+1½, – 1 £ x £ 1} незліченно.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини (BC) \ A.

5. Нехай A – множина точок відрізка [1, 2], а B – множина точок інтервалу (0, 3). Які з наступних відносин справедливі: а) A =B; б) A ~ B; в) A Ì B; г) A Ê B; д) A ËB; е) A Î B.

Варіант № 24

1. У книжковий кіоск привезли для продажу 100 книг Пушкіна, Лермонтова й Тургенєва. Книги Пушкіна купили 60 чоловік, книги Лермонтова - 50, книги Тургенєва - 30 чоловік. Книги Пушкіна й Лермонтова купили 40 чоловік, книги Пушкіна й Тургенєва - 20, книги Лермонтова й Тургенєва - 10 чоловік. П'ять чоловік купили книги всіх трьох письменників. Скільки чоловік не купили ні однієї з перерахованих книг?

2. Істинна чи неістинна рівність: \ = \ ?

3. Привести приклади множин А, У и С таких, що рівність А È В È З = З

а) справедливо; б) несправедливо.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини \ .

5. Чи можна побудувати взаємо-однозначна відповідність між множиною натуральних чисел N і множиною дійсних чисел відрізка [0, 1]? Відповідь обґрунтувати.

Вариант № 25

1. Група науковців складається з 100 чоловік. З них 70 чоловік володіють англійською мовою, 50 - німецьким, 40 - французьким, 30 - англійським і німецьким, 25 - англійським і французьким, 15 - французьким і німецьким. Хоча б одна мова знає кожен науковець. Скільки чоловік володіють всіма трьома мовами?

2. Спростити: (A \ (AB)) È В.

3. Привести приклади множин А, У и С так, щоб A Î B, В Ì С.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини \ .

5. Чи можна затверджувати, що множина всіх позитивних п'ятизначних чисел счетно? Відповідь обґрунтувати.

Варіант № 26

1. На курси іноземних мов записалося 100 чоловік. Виявилося, що 70 чоловік будуть вивчати англійську мову, 60 чоловік - французький й 30 чоловік - німецький. Англійськ і французький збираються вивчати 40 чоловік, англійський і німецький - 20, французький і німецький - 10. Скільки студентів будуть вивчати всі три мови?

2. Спростити рівність: (A  С )\ (С  (A ÈB)).

3. Привести приклад двох різних нескінченних множин А и В, таких, що потужність множини А дорівнює потужності множини В.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини С).

5. Чи еквівалентні множини A = {x: x³ – 1 = 0} й B = {x: x² – 3x + 2 = 0}?

Вариант № 27

У команді бігунів десять спортсменів бігають на довгі дистанції, вісімнадцять - на середні, дванадцять - на короткі. На довгі й середні дистанції бігають п'ять спортсменів, на середні й короткі - шість. На довгі й короткі дистанції не бігає ніхто. Скільки бігунів у команді?

2. Істинна чи неістинна рівність: ÈС)  È È С?

3. У якому випадку A ÈB = А В?

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини È(BC ) .

5. Чи можна затверджувати, що множина всіх позитивних чисел має меншу потужність, чим множина всіх дійсних чисел? Відповідь обґрунтувати.

Варіант № 28

1. У студентській групі 25 чоловік. Щоб одержати допуск на екзамен з даного курсу необхідно захистити курсову роботу, виконати лабораторну роботу й здати залік. 15 студентів захистили курсову роботу, 20 виконали лабораторну роботу, 17 здали залік. Захистили курсову роботу й виконали лабораторну роботу 12 чоловік. Захистили курсову роботу й здали залік 13 чоловік. Виконали лабораторну роботу й здали залік 16 чоловік. Скільки студентів допущено до іспиту?

2. Спростити:  ( È ).

3. Привести приклад двох нескінченних множин А и В, таких, що потужність множини А менше потужності множини В.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини \ .

5. Чи еквівалентні множина раціональних чисел відрізка [0, 1] і множина раціональних чисел із цього інтервалу? Відповідь обґрунтувати.

Варіант № 29

1. У класі 20 дітей. З них 10 додатково займаються в музичній школі, 6 - тенісом, 5 - китайською мовою. Музичну школу й заняття по тенісі відвідують три дитини, музикою й китайською мовою займаються троє, тенісом і китайською мовою двоє. Всіма трьома видами додаткових занять займається одна дитина. Скільки дітей не займається жодним з перерахованих занять?

2. Користуючись рівносильними перетвореннями, установити, істинна чи неістинна рівність: А \ (В ÈС) = (А \В)  ?

3. Довести, що множина точок A = {y: y = 2ⁿ, n = 1, 2, …} счетно.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини A  È B .

5. Чи еквівалентні множини A = {(x, y): y = x², 1< x <2} й B = {(x, y): y = 2^x, 3< x < ¥}?

Вариант № 30

1. У цеху є 25 верстатів, які можуть виконувати три види операцій: А, У и С. З них 10 верстатів виконують операцію А, 15 - В, 12 - С. Операції А и В можуть бути виконані на 6 верстатах, А и С - на 5, У и С - на 3 верстатах. Скільки верстатів можуть виконувати всі три операції?

2. Істинна чи неістинна рівність: \ = \ ?

3. Привести приклади множин А, У и С , для яких одночасно виконуються рівності А È В È С = А и А  В  С = С.

4. Намалювати діаграму Ейлера-Венна для множини С.

5. Чи можна побудувати однозначну-взаємо-однозначна відповідність між множиною дійсних чисел відрізка [0, 1] і множиною дійсних чисел інтервалу (0, 1)? Відповідь обґрунтувати.