Задачі для самостійного рішення

Задача 1

Намалюйте граф, матриця суміжності якого має вигляд:

Опишіть матрицю суміжності повного графа .

Задача 2

Ввівши відповідні позначення вершин, для кожного з графів на рис. 1. підберіть відповідну матрицю суміжності з перерахованих нижче.

Рис. 1

(а) (б) (в)

Задача 3

Які з графів на рис. 2 можуть бути підграфами графа із задачі 2?

Рис. 2 Кандидати в підграфи

Задача 4

Знайдіть цикли Гамільтона в графі на рис. 3.

Рис. 3

Знайдіть у ньому цикли довжиною 3, 4, 5, 6 і 7.

Задача 5

На рис. 4 зображено граф Петерсена Р.

Рис. 4. Граф Петерсена

Знайдіть у ньому цикл довжини 9. Покажіть, що Р не є гамільтоновим.

Знайдіть у ньому цикл довжини 9. Покажіть, що Р не є гамільтоновим.

Задача 6

Задано зважений неорієнтований граф G переліком вагових коефіцієнтів

ребер між вершинами m та n (табл. 1). Значення 0 у табл. 1 означає, що

ребро між вершинами m та n відсутнє.

1. Побудувати плоску укладку графа (табл. 1), визначити кількість

граней графа G.

2. Визначити відстань від вершини А до усіх інших вершин графа.

3. Побудувати дерево мінімальної вартості Т, виписати відповідні для

нього хорди.

4. Задати код дерева Т, побудованого у завданні 3.

5. За заданим кодом (табл. 1) побудувати дерево.

Таблиця 1.

Таблиця 2. Коди дерева.

Задача 7. Маємо неорієнтований граф , у якого задано множини і .

1. скільки в ньому вершин, скільки ребер;

2. навести приклади суміжних і несуміжних вершин;

3. навести приклади суміжних і несуміжних ребер;

4. навести приклади інцидентних і неінцидентних об’єктів;

5. обчислити степені вершин;

6. зобразити заданий граф графічно;

7. побудувати для нього матрицю інциденцій і матрицю суміжності.

Задача 8. Маємо 2 графи: і , причому задано множини :

,

.

Чи є один з них підграфом іншого (якщо ні, то вказати чим є)?

Задача 9. Для заданого графа побудувати матрицю суміжностей та матрицю інциденцій.

Задача 10. Маємо граф, заданий таблично. Зобразити графічно даний граф. Навести приклади:

а) маршруту в цьому графі;

б) ланцюга в цьому графі;

в) простого циклу в цьому графі.

Вершина	Інцидентні ребра
1
2
3
4
5
6
7
8	–

Задача 11. Для заданих графів і побудувати матриці інциденцій, виконавши над ними відповідні операції, записати матриці інциденцій графів . Перевірити правильність запису матриць, зобразивши ці графи геометрично.

З адача 12. Побудувати для заданих графів і матриці суміжності вершин і, виконавши над ними необхідні операції, записати матрицю графа та зобразити його геометрично.

З адача 13. Для заданого графа знайти ранг, цикломатичне число та записати матрицю незалежних циклів за заданим остовом.

Задача 14. Для заданого графа побудувати розділяючу множину, всі прості розрізи і записати матрицю розрізів.

Задача 15. Якою мінімальною кількістю фарб і скількома способами можна розфарбувати дерево? Вивести формулу для знаходження і .

Задача 16. Якою мінімальною кількістю фарб можна вершинно розфарбувати парний цикл? Непарний цикл? Скількома способами можна це зробити? Вивести формулу для знаходження і .

Задача 17. Правильно вершинно розфарбувати мінімальною кількістю фарб даний граф G. Скількома способами можна це зробити?