В.Д. Павлидис

Практикум по теории вероятностей и математической статистике

УДК 517

ББК 22.11

Рецензенты:

………… - доктор технических наук, профессор

С.Е. Тычинина – кандидат физико-математических наук, доцент

Павлидис. В.Д.

Практикум по теории вероятностей и математической статистике / В.Д. Павлидис

Учебное пособие содержит теоретический материал по разделам теории вероятностей, математической статистике, теории корреляции; подробное решение большого числа типовых задач и варианты типовых расчетов по данным разделам. Помимо этого в нем содержатся практические рекомендации по проведению математической обработки статистических наблюдений, оригинальный справочный материал по применению статистических критериев.

Пособие предназначено для студентов инженерных специальностей: «Механизация сельского хозяйства»-110301, «Технология обслуживания и ремонта машин в АПК»- 110304, «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» – 11.03.02. Оно соответствует Государственному образовательному стандарту по математике для указанных специальностей и может быть использовано как для аудиторной, так и для самостоятельной работы студентов.

Содержание

1. Теория вероятностей и математическая статистика

Теоретический материал и методические рекомендации

1. Краткие сведения из комбинаторики

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используются при непосредственном вычислении вероятностей.

Приведем некоторые сведения.

Соединениями называют различные группы предметов, со­ставленные из каких-либо объектов.

Элементами называются объекты, из которых составлены соединения. Рассмотрим следующие три вида соединений: пере­становки, размещения и сочетания.

Перестановками из n элементов называют соединения, со­держащие все n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов. Число перестановок из n элементов находится по формуле

,

где п! - произведение натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. n!=1·2·3·...·n.

Например, Р₆ = 6!= 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

Размещениями из n элементов по k в каждом (п ≥ k) называются такие соединения, в каждый из которых входит k элемен­тов, взятых из данных n элементов, и отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по k находят по формуле

или,

Например,

Сочетаниями из n элементов по k (п>k) называют соеди нения, в каждый из которых входит k элементов, взятых из дан­ных n элементов и отличающихся друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k находят по формуле:

или

.

Для упрощения вычислений при полезно использо­вать следующее свойство сочетаний:

.

Замечания:

1) по определению ;

2) для определения числа сочетаний справедливы равенства

, ,

3) В записанных выше формулах комбинаторики предпола­галось, что все n элементов различны. Если же некоторые элемен­ты в соединениях повторяются, то в этом случае соединения с повторениями вычисляются по другим формулам.

Пусть среди n элементов рассматриваемого множества есть n₁ элементов одного вида, п₂ элементов другого вида и т.д. Чис­ло перестановок с повторениями определяется по формуле

,

где .

Число размещений по т элементов с повторениями из n эле­ментов равно п^т, т.е. .

Число сочетаний с повторениями из n элементов по т эле­ментов равно числу сочетаний без повторений из (n+m-1) эле­ментов по т, т.е.

4) При решении задач комбинаторики можно использовать следующие правила:

правило суммы. Если некоторый объект А может быть вы­бран из множества объектов т способами, а объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно (т + п) способами.

правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана т · n способами.