2.2. Моделі ancova за наявності у якісних змінних більше двох альтернатив

Нехай розглядається модель із двома пояснюючими змінними, одна з яких є кількісною, а інша - якісною. Причому якісна змінна має три альтернативи. Наприклад, видатки на утримання дитини можуть бути пов'язані із доходами домогосподарств і віком дитини: дошкільний, молодший шкільний і старший шкільний. Тому що якісна змінна пов'язується із трьома альтернативами, то за загальним правилом моделювання необхідно використовувати дві фіктивні змінні. Таким чином, модель може бути представлена у вигляді: Y = β_о + β₁X + γ₁ D₁ + γ₂ D₂ + u, (6)

де Y - видатки, X - доходи домогосподарств.

0, якщо дитина - дошкільник,

D₁ = 1, якщо у протилежному випадку.

0, якщо дошкільник або молодший школяр,

D₂ = 1, у протилежному випадку.

Утворяться такі залежності:

• Середній видаток на дошкільника: M( Y| D₁ = 0, D₂ = 0) = β_о+ β₁X .

• Середній видаток на молодшого школяра: M ( Y | D_l = 1, D₂ = 0) = (β_о + γ₁) + β₁ Х

• Середній видаток на старшого школяра: M( Y | D₁ = 1, D₂ = 1) = (β_о + γ₁ + γ₂ ) + β₁ Х .

Тут γ₁, γ₂ - диференціальні вільні члени. Базовим значенням якісної змінної є значення «дошкільник».

Після обчислення коефіцієнтів рівнянь регресій визначається статистична значущість коефіцієнтів γ₁, γ₂ на основі звичайної t - статистики. Якщо коефіцієнти γ₁, γ₂ виявляються статистично незначущими, то можна зробити висновок, що вік дитини не робить істотного впливу на видатки із його втримування.

2.3. Регресія з однією кількісною і двома якісними змінними

Нехай Y - заробітна плата співробітників фірми, X - стаж роботи,

D₁ - наявність вищої освіти, D₂ - стать співробітника:

0, якщо співробітник - жінка,

D₁ = 1, якщо співробітник - чоловік.

0, якщо немає вищої освіти,

D₂ = 1, у протилежному випадку.

Таким чином, одержимо наступну модель: Y = β_о + β₁X + γ₁ D₁ + γ₂ D₂ + и,. (7)

Із цієї моделі виводяться наступні регресійні залежності:

• Середня заробітна плата жінки без вищої освіти: M(Y | D₁=0, D₂= 0) = β_о+ β₁X

• Середня заробітна плата жінки з вищою освітою: M(Y | D_l = 0, D₂ = 1) = (β_о + γ₂) + β₁ Х

• Середня заробітна плата чоловіка без вищої освіти:M(Y | D_l =1, D₂=0) = (β_о + γ₁) + β₁ Х

• Середня заробітна плата чоловіка з вищою освітою:

M( Y | D₁ = 1, D₂ = 1) = (β_о + γ₁ + γ₂ ) + β₁ Х

Всі регресії відрізняються лише вільними членами. Подальше визначення статистичної значущості коефіцієнтів γ₁, γ₂ дозволяє переконатися, чи впливають освіта й стать співробітника на його заробітну плату.

Природно, що запропоновані вище схеми можуть бути поширені на ситуації із довільним числом кількісних і якісних факторів.

Приклад 1. Людина, яка працює на кількох роботах, відома як заробітчанин. Шіско і Росткер зацікавилися факторами, які визначають зарплати заробітчан. Базу­ючись на виборці щодо 318 заробітчан, вони отримали таку регресію:

+ 2.26 Х₁+ 90.06 D₁ + 75.51 D₂ + 47.33 D₃ + 113.64 D₄ (*)

Т: (0.94) (24.47) (21.60) (23.42) (27.62) ;

R² = 0.34 df =311,

де w_m — зарплата заробітчанина (центів на годину);

w₀ — початкова зарплата (центів на годину);

x₁ — вік людини.

D_l (раса) = 0, якщо білий, = 1, якщо не білий;

D₂ (місто) = 0, якщо не міський, = 1, якщо міський;

D₄ (область) = 0, якщо не західний район, = 1, якщо західний район;

D₃ (освіта) = 0, якщо без освіти, = 1 має освіту;

У моделі є дві кількісні пояснюючі змінні, w₀ та х₁, а також чотири якісні змінні. Коефіцієнти всіх цих змінних статистично значущі із рівнем похибки 5%. Цікаво, що всі якісні змінні суттєво впливають на зарплату заробітчан. Наприклад, за інших рівних умов рівень погодинної оплати праці на 47% вищий у осіб із освітою, ніж у тих, хто не має освіти.

З регресії (*) можна виділити декілька індивідуальних регресій, наприклад, такі:

• середня зарплата білих, неміських, не із західних регіонів заро­бітчан, які не мають вищої освіти (коли всі фіктивні змінні дорівнюють нулю):

w_m = 37.07 + 0.403 w₀ + 2.26 x₁;

• середня зарплата чорношкірого, міського, з західного регіону заробітчани­на з вищою освітою (коли всі фіктивні змінні дорівнюють одиниці):

w_m = 183.49 + 0.403 w₀ + 2.26 x₁.