Розв’язання

1. Визначимо оцінки параметрів лінійної моделі виду методом найменших квадратів. Дана модель має наступний вигляд (в дужках відмічено стандартні похибки для оцінок параметрів):

.

σ: (166,404) (0,067) (0,172)

Коефіцієнт детермінації R² = 0,9899, вибіркова дисперсія залишків складає D_u = 3176380,81.

i	Х1і	Х2і	Yi		ui
1	2762	964	2997	2996,15	0,85	0,72	–	–
2	2753	727	3060	3119,72	-59,72	3566,92	3668,85	-50,61
3	2891	962	3331	3137,94	193,06	37273,38	63901,19	-11530,45
4	3265	849	4103	3609,33	493,67	243705,61	90361,76	95308,61
5	3734	882	4126	4102,15	23,85	568,89	220725,32	11774,59
6	4177	1000	4487	4518,77	-31,77	1009,63	3094,26	-757,87
7	4433	805	5095	4907,66	187,34	35097,10	48012,21	-5952,74
8	4643	926	5196	5068,54	127,46	16246,64	3585,60	23879,07
9	4608	806	5001	5097,91	-96,91	9391,73	50343,35	-12352,49
10	4879	858	5104	5364,14	-260,14	67671,37	26642,82	25210,14
11	4563	1169	4985	4844,55	140,45	19727,24	160473,08	-36537,24
12	5017	1454	5102	5179,18	-77,18	5956,49	47363,69	-10839,98
13	5260	1942	5189	5169,49	19,51	380,57	9348,30	-1505,62
14	6327	2623	5243	5949,65	-706,65	499360,43	527312,26	-13785,63
15	6352	2415	5986	6093,98	-107,98	11659,02	358414,69	76302,38
16	6784	2613	5715	6453,58	-738,58	545507,16	397665,97	79750,10
17	7865	3508	7245	7128,57	116,43	13555,34	731045,49	-85991,50
18	9172	3436	8332	8594,22	-262,22	68757,61	143371,39	-30529,22
19	9597	3520	9392	9010,35	381,65	145655,73	414562,67	-100074,67
20	11380	4750	10222	10262,24	-40,24	1619,62	177993,91	-15359,28
21	12339	4696	11976	11338,31	637,69	406652,16	459599,11	-25663,66
22	14004	4903	13694	13037,28	656,72	431275,95	361,88	418783,11
23	15010	4482	14538	14371,14	166,86	27841,20	239962,04	109577,56
24	17202	5479	15436	16200,13	-764,13	583900,29	866743,35	-127500,93
Σ					0,000	3176380,81	5044553,21	362153,70

2). Для визначення статистики Дарбіна-Уотсона та коефіцієнта автокореляції залишків першого порядку допоміжні розрахунки запишемо в таблицi:

3). Розрахуємо критерій Дарбіна-Уотсона:

та коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку: .

Критичні значення DW при >0 для кількості спостережень n = 24, числа пояснюючих змінних m =2 та рівня значущості α = 0,05 відповідно дорівнюють: DW₁ =1,188; DW₂ = 1,546.

1,546 < DW < 2, то для даної моделі можемо відхилити гіпотезу про наявність додатної автокореляції залишків.

4). Отже, збільшення кількості пояснюючих змінних дозволило покращити якість моделі.

Приклад 3. Автокореляція залишків може виникати також внаслідок помилкової функціональної специфікації рівняння регресії: в якості рівняння регресії було використано лінійну функцію, а в дійсності процес описується нелінійною залежністю, і навпаки.

На основі вибіркових даних (табл.1), які характеризують залежність між кредитами Y, наданими комерційними банками, та залученими депозитними коштами X, побудувати модель та перевірити її на наявність автокореляції залишків.

Розв’язання

1. Лінеаризуємо модель шляхом заміни :

.

Для перетвореної лінійної моделі оцінки параметрів знайдемо методом найменших квадратів:

aбо .

стандартні похибки для оцінок параметрів (914,15) (4363389,27)

Коефіцієнт детермінації для даної моделі складає R²=0.733, вибіркова дисперсія залишків складає Du = 83950697,22.

2). Для визначення статистики Дарбіна-Уотсона та коефіцієнта автокореляції залишків першого порядку допоміжні розрахунки запишемо в таблицi:

3). Обчислюємо критерій Дарбіна-Уотсона:

та коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку: .

Критичні значення DW при >0 для кількості спостережень n = 24, числа пояснюючих змінних m =1 та рівня значущості α = 0,05 відповідно дорівнюють: DW₁ =1,273; DW₂ =1.446.

0 < DW < 1,273, то для даної моделі можемо стверджувати про існування додатної автокореляції залишків.

4). Якщо порівняти побудовану модель з моделлю, розглянутою в прикладі 1, то можна сказати, що зміна лінійної специфікації моделі на гіперболічну, призвела не тільки до погіршення характеристик моделі, а й посилила автокореляцію залишків, про що свідчить менше значення DW та близьке до одиниці .