Лабораторна робота № 3 «Оцінювання параметрів нелінійної моделі»
Мета роботи:
Лінеаризація нелінійної моделі.
Оцінювання параметрів лінеаризованої моделі на основі МНК.
Вибір між лінійною та нелінійною специфікацією моделі.
Завдання:
1. Розрахувати різні види економетричних моделей між факторами Y, Х1, Х2 :
однофакторна: лінійна, поліноміальна, показникова;
багатофакторна: лінійна, показникова.
2. Провести аналіз отриманих результатів на статистичну значущість.
3. Обрати кращу модель для прогнозування значень залежного фактора.
Y – обсяг молочної продукції (тис. т) , запропонованої на ринку,
-
3,600
3,800
3,800
5,300
5,600
5,700
5,800
6,300
6,600
7,100
7,600
8,100
8,600
9,100
9,600
Х1 – витрати на податки( ум. гр. од.) , Х2 – ціна за 1 л молока ( ум. гр. од.)
-
X1
X2
1,470
1,200
1,200
1,000
1,140
0,900
1,080
1,200
1,050
1,300
0,900
1,400
0,840
1,500
0,780
1,600
0,750
1,200
0,630
1,100
0,580
1,100
0,570
1,200
0,570
1,000
0,540
2,000
0,510
1,900
|
X |
Y |
Yл |
1 |
1,47 |
3,600 |
2,556 |
2 |
1,20 |
3,800 |
4,222 |
3 |
1,14 |
3,800 |
4,592 |
4 |
1,08 |
5,300 |
4,963 |
5 |
1,05 |
5,600 |
5,148 |
6 |
0,90 |
5,700 |
6,074 |
7 |
0,84 |
5,800 |
6,444 |
8 |
0,78 |
6,300 |
6,814 |
9 |
0,75 |
6,600 |
7,000 |
10 |
0,63 |
7,100 |
7,740 |
11 |
0,58 |
7,600 |
8,049 |
12 |
0,57 |
8,100 |
8,111 |
13 |
0,57 |
8,600 |
8,111 |
14 |
0,54 |
9,100 |
8,296 |
15 |
0,51 |
9,600 |
8,481 |
|
|
|
|
ЛІНIЛИ |
ЛИНЕЙН |
-6,172 |
11,629 |
|
|
0,620 |
0,550 |
|
|
0,884 |
0,676 |
|
|
99,144 |
13,000 |
|
|
45,332 |
5,944 |
x
+ û
Лінійна модель парної регресії:
Ŷ
=
x
+ û =
11,629 – 6,117 х +
û,
2. Коефіцієнт детермінації R2 = 0,884: на 88,4% зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки, 11,6 % припадає на невраховані фактори.
3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:
F =
> Fтаб
=4,67 −
модель є статистично значущою.
4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів ậ0 та ậ1 моделі за Т- критерієм: t ậ0 = 11,63 / 0,55 = 21,145, t ậ1 =6,172 / 0,62 = 9,95 > tтаб =2,160
− оцінки параметрів моделі ậ0 та ậ1 є статистично значущими.
2.
Квадратична модель парної регресії:
Ŷ =
Х
+
Х2 +
û,
Проводимо лінеаризацію моделі - вводиться заміна Х2 = Z, в результаті чого модель матиме вигляд: Ŷ = Х + Z + û, параметри якої можна розрахувати за допомогою функції «ЛІНIЙН»:
-
Х
Z=X^2
Y
Yм
u = Y- Ŷ
u^2
Y-Yс
(Y-Yс)^2
1,47
2,161
3,600
3,652
-0,052
0,003
-2,840
8,066
1,20
1,440
3,800
4,141
-0,341
0,116
-2,640
6,970
1,14
1,300
3,800
4,357
-0,557
0,310
-2,640
6,970
1,08
1,166
5,300
4,611
0,689
0,474
-1,140
1,300
1,05
1,103
5,600
4,753
0,847
0,718
-0,840
0,706
0,90
0,810
5,700
5,607
0,093
0,009
-0,740
0,548
0,84
0,706
5,800
6,017
-0,217
0,047
-0,640
0,410
0,78
0,608
6,300
6,466
-0,166
0,027
-0,140
0,020
0,75
0,563
6,600
6,704
-0,104
0,011
0,160
0,026
0,63
0,397
7,100
7,757
-0,657
0,431
0,660
0,436
0,58
0,336
7,600
8,241
-0,641
0,411
1,160
1,346
0,57
0,325
8,100
8,341
-0,241
0,058
1,660
2,756
0,57
0,325
8,600
8,341
0,259
0,067
2,160
4,666
0,54
0,292
9,100
8,648
0,452
0,204
2,660
7,076
0,51
0,260
9,600
8,964
0,636
0,404
3,160
9,986
3,291
51,276
5,393
-16,211
15,830
ЛІНI
1,734
3,263
1,416
0,936
0,524
#Н/Д
87,488
12,000
#Н/Д
Y cер
Yс =6,440
R2
R2=0,936
47,985
3,291
#Н/Д
1. Квадратична модель парної регресії: Ŷ = 15,83 -16,21∙Х + 5,393∙Х2 + û,
2. Коефіцієнт детермінації R2 = 0,936: на 93,6 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки (ум.гр.од.), 6,4 % припадає на невраховані фактори. Причому значення коефіцієнта детермінації, розраховані за означенням і за допомогою функції «ЛІНIЙН», співпадають.
3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:
F =
> Fтаб
= 3,89 −
модель є статистично значущою.
4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів ậ0 , ậ1 та ậ2 моделі за Т- критерієм: tậ0 = 15,83 / 1,416 = 11,179, tậ1 =16,211 / 3,263 = 4,97, tậ2= 5,393 /1,734 = 3,11 > tтаб =2,179 − оцінки параметрів моделі ậ0 , ậ1 та ậ2 є статистично значущими.
Показникова модель: Ŷ =
Для дослідження моделі Ŷ
=
проводиться лінеаризація − логарифмування
залежності:
.
Для використання функції ЛIНIЙН, робиться заміна:
Z
= lnŶ,
=
,
=
,
=
,
отримуємо модель простої
регресії Z
=
,
За МНК (функцією «ЛИНЕЙН»)
можна визначити незміщені оцінки
коефіцієнтів
і
.
Але коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних змінних Y і Х, а для їх логарифмів. Тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнт детермінації:
R2 =
1-
=
,
Dу
=
,
=
.
№ п/п |
Х |
Y |
Y- |
(Y- )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
При цьому функція ЛIНIЙН виводить значення
змінних
та
і тому потрібно знайти значення
та
,
де
,
а
.
Коефіцієнт
є
константою, яка характеризує сталу,
тобто процентну, зміну Y для даної
процентної зміни X.
X |
V = ln x |
Y |
Z = ln Y |
Y |
Yм |
u^ =Y-Yл |
(u^)2 |
Y - Yс |
(Y-Yс) 2 |
1,47 |
0,385 |
3,600 |
1,281 |
3,600 |
3,536 |
0,064 |
0,004 |
-2,840 |
8,066 |
1,20 |
0,182 |
3,800 |
1,335 |
3,800 |
4,249 |
-0,449 |
0,202 |
-2,640 |
6,970 |
1,14 |
0,131 |
3,800 |
1,335 |
3,800 |
4,451 |
-0,651 |
0,424 |
-2,640 |
6,970 |
1,08 |
0,077 |
5,300 |
1,668 |
5,300 |
4,675 |
0,625 |
0,391 |
-1,140 |
1,300 |
1,05 |
0,049 |
5,600 |
1,723 |
5,600 |
4,796 |
0,804 |
0,647 |
-0,840 |
0,706 |
0,90 |
-0,105 |
5,700 |
1,740 |
5,700 |
5,514 |
0,186 |
0,035 |
-0,740 |
0,548 |
0,84 |
-0,174 |
5,800 |
1,758 |
5,800 |
5,870 |
-0,070 |
0,005 |
-0,640 |
0,410 |
0,78 |
-0,248 |
6,300 |
1,841 |
6,300 |
6,277 |
0,023 |
0,001 |
-0,140 |
0,020 |
0,75 |
-0,288 |
6,600 |
1,887 |
6,600 |
6,505 |
0,095 |
0,009 |
0,160 |
0,026 |
0,63 |
-0,462 |
7,100 |
1,960 |
7,100 |
7,617 |
-0,517 |
0,268 |
0,660 |
0,436 |
0,58 |
-0,545 |
7,600 |
2,028 |
7,600 |
8,210 |
-0,610 |
0,372 |
1,160 |
1,346 |
0,57 |
-0,562 |
8,100 |
2,092 |
8,100 |
8,340 |
-0,240 |
0,058 |
1,660 |
2,756 |
0,57 |
-0,562 |
8,600 |
2,152 |
8,600 |
8,340 |
0,260 |
0,067 |
2,160 |
4,666 |
0,54 |
-0,616 |
9,100 |
2,208 |
9,100 |
8,759 |
0,341 |
0,116 |
2,660 |
7,076 |
0,51 |
-0,673 |
9,600 |
2,262 |
9,600 |
9,225 |
0,375 |
0,141 |
3,160 |
9,986 |
|
|
|
|
|
|
|
2,739 |
|
51,276 |
|
ЛІНIЛИНЕЙН |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,906 |
1,612 |
|
a0ааа |
а0=5,01 |
|
|
|
|
|
0,068 |
0,027 |
|
a1 |
а1=-0,91 |
|
|
|
|
|
0,932 |
0,085 |
|
R2 |
R2=0,95 |
|
|
|
|
|
179,075 |
13,000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,307 |
0,095 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Показникова
модель парної регресії: Ŷ
= 5,112 ∙Х -0,906
∙
,
2. Коефіцієнт детермінації R2 = 0,947: на 94,7 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки (ум. гр. од. ), 5,3 % припадає на невраховані фактори.
3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:
F =
> Fтаб
= 3,89 −
модель є статистично значущою.
4. Коефіцієнт = - 0,906 є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для процентної зміни фактора Х1 – витрат на податки.
4. Лінійна економетрична багатофакторна модель: Y = а0 + а1 X1 + а2X2 + u.
За МНК (функцією «ЛИНЕЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів цієї моделі
1,09 |
-5,69 |
9,80 |
0,55 |
0,61 |
1,05 |
0,91 |
0,61 |
#Н/Д |
62,53 |
12,00 |
#Н/Д |
46,79 |
4,49 |
#Н/Д |
1. Лінійна модель множинної регресії:
Ŷ =
Х1
+
Х2
+ û =
9,80 – 5,69 Х1
+ 1,09 Х2
+ û,
2. Коефіцієнт детермінації R2 = 0,91: на 91% зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки і ціною молока, 9 % припадає на невраховані фактори.
3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:
F =
> Fтаб
=3,89 −
модель є статистично значущою.
4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів моделі ậ0 , ậ1 та ậ2 моделі за Т- критерієм: tậ0 = 9,80 / 1,05 = 9,33, tậ1 =5,69 / 0,61 = 9,32 7> tтаб =2,179,
tậ3 = 1,09 /0,55 = 1,98 < tтаб =2,179
− оцінки параметрів моделі ậ0 та ậ1 є статистично значущими,
оцінка параметру ậ2 є статистично незначущою.
5. Нелінійна економетрична
багатофакторна модель Ŷ
=.
Для дослідження моделі
Ŷ
=
,
проводиться лінеаризація − логарифмування
залежності:
,
а для використання функції ЛIНIЙН,
робиться заміна: Z
= lnŶ,
=
,
=
,
=
,
=
,
=
.
Отримуємо модель лінійної
множинної регресії
і визначаємо незміщені оцінки коефіцієнтів
,
і
.
Аналогічно проводимо зворотну заміну:
,
,
а
.
Коефіцієнти , є константами, які характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для процентної зміни відповідних факторів X1 і Х2 .
Але при цьому коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних змінних Y і X1 і Х2, а для їх логарифмів. Тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнти детермінації:
R2 = 1- = , Dу = , = .
X1 |
X2 |
V1 = l lnX1 |
V2 = l l nX2 |
Y |
Z = ln lnY |
Ŷ |
u^ = Y- Ŷ |
(u^)2 |
Y |
(Y-Yс |
1,470 |
1,200 |
0,385 |
0,182 |
3,600 |
1,281 |
3,610 |
-0,010 |
0,000 |
-2,840 |
8,066 |
1,200 |
1,000 |
0,182 |
0,000 |
3,800 |
1,335 |
4,138 |
-0,338 |
0,114 |
-2,640 |
6,970 |
1,140 |
0,900 |
0,131 |
-0,105 |
3,800 |
1,335 |
4,233 |
-0,433 |
0,187 |
-2,640 |
6,970 |
1,080 |
1,200 |
0,077 |
0,182 |
5,300 |
1,668 |
4,695 |
0,605 |
0,365 |
-1,140 |
1,300 |
1,050 |
1,300 |
0,049 |
0,262 |
5,600 |
1,723 |
4,887 |
0,713 |
0,508 |
-0,840 |
0,706 |
0,900 |
1,400 |
-0,105 |
0,336 |
5,700 |
1,740 |
5,657 |
0,043 |
0,002 |
-0,740 |
0,548 |
0,840 |
1,500 |
-0,174 |
0,405 |
5,800 |
1,758 |
6,083 |
-0,283 |
0,080 |
-0,640 |
0,410 |
0,780 |
1,600 |
-0,248 |
0,470 |
6,300 |
1,841 |
6,564 |
-0,264 |
0,070 |
-0,140 |
0,020 |
0,750 |
1,200 |
-0,288 |
0,182 |
6,600 |
1,887 |
6,407 |
0,193 |
0,037 |
0,160 |
0,026 |
0,630 |
1,100 |
-0,462 |
0,095 |
7,100 |
1,960 |
7,305 |
-0,205 |
0,042 |
0,660 |
0,436 |
0,580 |
1,100 |
-0,545 |
0,095 |
7,600 |
2,028 |
7,838 |
-0,238 |
0,057 |
1,160 |
1,346 |
0,570 |
1,200 |
-0,562 |
0,182 |
8,100 |
2,092 |
8,095 |
0,005 |
0,000 |
1,660 |
2,756 |
0,570 |
1,000 |
-0,562 |
0,000 |
8,600 |
2,152 |
7,805 |
0,795 |
0,632 |
2,160 |
4,666 |
0,540 |
2,000 |
-0,616 |
0,693 |
9,100 |
2,208 |
9,391 |
-0,291 |
0,085 |
2,660 |
7,076 |
0,510 |
1,900 |
-0,673 |
0,642 |
9,600 |
2,262 |
9,759 |
-0,159 |
0,025 |
3,160 |
9,986 |
|
ЛІНI KBYЙНЛЛИНЕЙН |
|
|
|
|
|
|
2,205 |
|
51,276 |
0,200 |
-0,852 |
1,576 |
|
a0 |
а0 = 4,834 |
|
|
|
|
|
0,096 |
0,065 |
0,030 |
|
a1 |
а1 = -0,852 |
|
|
|
|
|
0,950 |
0,076 |
#Н/Д |
|
a2 |
а2 = 0,200 |
|
|
|
|
|
115,108 |
12,000 |
#Н/Д |
|
R^2 |
R2= 0,957 |
|
|
|
|
|
1,332 |
0,069 |
#Н/Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Показникова модель множинної регресії: Ŷ = 4,834 ∙Х1 -0,852 ∙ Х20,200 ,
2. Коефіцієнт детермінації R2 = 0,957: на 95,7 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки і ціною молока (ум. гр. од. ), 4,3 % припадає на невраховані фактори.
3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:
F =
> Fтаб
= 3,89 −
модель є статистично значущою.
4. Коефіцієнти = - 0,852, = 0,200 є константами, яка характеризують сталу, тобто процентну зміну Y для процентної зміни фактора Х1 – витрат на податки і Х2 – ціни молока.
Висновок: Результати лабораторної роботи вказують на те, що найдоцільнішою для використання є нелінійна економетрична багатофакторна модель, коефіцієнт детермінації якої є найбільшим, він дорівнює 0,957.