2.2. Гіперболічна модель

Гіперболічна модель у загальному випадку має та­кий вигляд: Y = a₀ + a₁ · + u. (3)

Модель (3) можна звести до лінійної регресійної моделі. Для всіх значень індексу і = 1,.., n рівняння у векторно-матричній формі набере вигляду Ŷ= ZÂ + Û, заміняючи 1/X на Z.

Графіки гіперболічних моделей визначаються знаками параметрів â_0, â₁ .

• â₀ < 0 , â₁ > 0: на рис. 4 зображена так звана крива Філліпса.

М одель Y = a₀ + a₁ · + u використовується для аналізу залежності між зміною заробітної плати Y та рівнем безробіття X ( у %).

Рис. 4

• â₀ > 0 , â₁ > 0 крива залежності між факторними ознаками Y та X набуде вигляду:

Рис.5

Така залежність, що зображена на рис.5 кривою, має міс­це при дослідженні зв'язку між середніми фіксованими витрата­ми Y і обсягом випуску продукції X.

• â₀ > 0 , â₁ < 0: кpива залежності між змінними Y та X набере вигляду:

Рис.6

Зображена функція – це функція Торнквіста, за допомогою якої описується залежність між попитом Y на товари першої необхідності й доходом X. Шведський економіст П.Торнквіст запропонував спеціальні функції попиту для груп товарів першої, другої необхідності, предметів розкоші (рис.7):

Рис. 7 . Функції Торнквіста

- функція Торнквіста для товарів I необхідності: зростання попиту на першочергові товари зі зростанням доходу поступово уповільнюється і має границю (крива попиту асимптотично наближається до прямої );

, де - функція Торнквіста на товари II необхідності має свою границю більш вищого рівня ( ), причому попит на групу цих товарів з’являється лише за умови досягнення доходу рівня ;

, де - функція Торнквіста для предметів розкошу: не має границі, і попит на ці товари виникає тільки за умови підвищення доходу рівня і далі зростає дуже швидко.

3. Нелінійні регресії 2-го класу

3.1. Показникова моделі

Модель Y = а е ^βх (4) досить широко застосовується в економетричному аналізі. Найбільш важливим її застосуванням є ситуація, коли аналізується зміна фактора Y із постійним темпом приросту в часі: X символічно заміняється змінною t: Y = а е^βt.

3.2. Степенева модель

Нехай деяка економічна залежність моделюється формулою Y = а₀ Х ^а1, (5)

де а₀ і а₁ - параметри моделі, що підлягають визначенню. Ця функція може характеризувати:

• залежність попиту Y на благо від його ціни X (у цьому випадку (а₁ < 0) або від доходу X (у цьому випадку а₁ > 0); при такій інтерпретації змінних X і Y функція (1) називається функцією Енгеля;

• залежність обсягу випуску Y від використання ресурсу X (виробнича функція), 0 < а₁ < 1.

Модель (5) не є лінійною функцією відносно X (похідна залежної змінної Y по X, що вказує на зміну Y щодо зміни X, буде залежати від X: ), тобто не буде константою, що властиве лише нелінійним моделям.

Стандартним підходом до аналізу функцій даного роду в економетриці є логарифмування за експонентою е: 1п Y =1п а₀ + а₁ ln X. (6)

Після заміни lп а₀ = β_о, а₁ = β рівняння (6) матиме вигляд 1п Y = β_о + β· ln X. (7)

Одержимо так звану подвійну логарифмічну модель (і залежна, і пояснююча змінна задані в логарифмічному вигляді): 1п Y = β₀ + β ln Х + u. (8)

Дане рівняння є лінійним відносно 1пХ і 1п Y, а також щодо параметрів β₀ і β. Вводячи заміни Y* = 1п Y і Х* = 1пХ, модель (8) можна переписати у вигляді: Y* = β_о + β₁ Х* + u. (9)

Модель (9) є лінійною моделлю, то за МНК («ЛIНIЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів β_о і β₁. Але при цьому коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних змінних Y і Х, а для їх логарифмів, тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнти детермінації:

№ п/п	Х	Y	Y-	(Y- )2
Σ						→ 0

R² = 1- = , D_у = , = .

Коефіцієнт β₁ є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для даної процентної зміни X. Тому найчастіше подвійна логарифмічна модель називається моделлю постійної еластичності. Дійсно, продиференціювавши ліву й праву частини (7) по X, отримаємо:

,

Дана модель легко узагальнюється на більшу кількість змінних. Наприклад,

1п Y = β₀ + β₁ lnX₁ + β ₂ lnX₂ + u. (10)

Тут коефіцієнти β₁, β₂ є еластичностями змінної Y за змінними X₁ і Х₂ відповідно.