3.5. Дискретна кореляція

При дискретній кореляції найчастіше порівнюються дві вибірки {x(n)} та {y(n)} однакового об’єму N. Відносній кореляційній функції відповідає дискретна взаємна кореляція при зміщенні цих вибірок на величину m відліків. Дискретну кореляцію визначають так:

. (3.19)

Отже, при дискретній кореляції двох послідовностей {x(n)} та {y(n)} попарно перемножують їх відліки, при умові, що ці відліки співпадають в часі, а добутки відліків додають і ділять на число відліків.

Цю процедуру краще розглянути на конкретному прикладі.

Приклад. Знайти взаємну кореляцію двох вибірок:

x(n) = {2, 1, 0, –2, 1, 3, 2, –1}, y(n) = {1, 3, 1, –1, –3, –2, 0, 1}.

Розв’язування. Нехай вибірки узгоджені в часі, як це показано в таблиці.

n	0	1	2	3	4	5	6	7
x(n)	2	1	0	–2	1	3	2	–1
y(n)	1	3	1	–1	–3	–2	0	1

Об'єм вибірок однаковий: N = 8.

Дискретна взаємна кореляція при m = 0 даних вибірок дорівнює:

.

З енергетичної точки зору при визначенні дискретної взаємної кореляції враховується взаємна потужність двох вибірок. Згідно (3.19) зсув другого сигналу в сторону випередження y(n + m) відносно першого сигналу x(n) рівносильний зсуву першого сигналу в сторону запізнення x(n – m) відносно другого сигналу y(n). До цього можна прийти, використавши в першій сумі підстановку .

Формулу (3.19) можна реалізувати наступним чином:

. (3.20)

Для визначення дискретної взаємної кореляції при другий сингал y(n) зсувають на m відліків в сторону випередження відносно x(n), а при вже перший сигнал x(n) зсувається на m відліків в сторону випередження відносно сигналу y(n). Ця уніфікація операції зсуву може спростити її апаратну реалізацію.

Має місце взаємна оберненість дискретних взаємних кореляцій та :

.

Дискретна автокореляція визначається згідно формули:

(3.21)

Дискретна автокореляція є парною функцією:

. (3.22)

Максимальне значення дискретна автокореляція приймає при . При цьому:

. (3.22)

Нормована дискретна функція взаємної кореляції називається коефіцієнтом дискретної взаємної кореляції:

(3.23)

де визначається згідно формули (3.20), визначається згідно формули (3.23), а аналогічним чином:

. (3.24)

Коефіцієнт взаємної кореляції дорівнює косинусу кута між двома вибірками при відносному зсуві на m відліків.

Нормована функція автокореляції називається коефіцієнтом автокореляції:

, . (3.25)

Після процедури нормування масштабні коефіцієнти функцій , і втрачають свій вплив на значення оцінок кореляції, тому коефіцієнти , та більш універсальні і об’єктивні критерії кореляції.

3.6. Циклічна кореляція

Мова йде про визначення взаємної кореляції двох періодичних послідовностей. Щоб уникнути неправильних оцінок в першу чергу будемо розрізняти циклічні вибірки однакового об’єму N, тобто вибірки з однаковим періодом і вибірки різного об’єму, тобто вибірки з різним періодом.

Якщо циклічні вибірки мають однаковий об’єм N, то при зміщенні одного сигналу відносно іншого на відліків в будь-яку сторону пара сигналів повторює своє початкове положення.

Це означає, що циклічна взаємна кореляція та коефіцієнт циклічної взаємної кореляції є симетричними функціями: , , періодичними функціями з періодом , що визначають за формулами:

, , (3.26)

. (3.27)

Тепер розглянемо дві періодичні вибірки різного об’єму: об’єму та об’єму . Якщо коефіцієнт циклічної кореляції визначати так само, як це робилося для вибірок рівного об’єму, то одержимо циклічну функцію , але її період буде дорівнювати періоду коротшої вибірки. Це вказує на неприйнятність результату, бо не відображається періодичність більш довгої вибірки.

Для того, щоб одержати правильний результат діють наступним чином. Беруть по одному фрагменту кожної вибірки та відповідно, довжини та і для визначення взаємної кореляції кожен фрагмент доповнюють нулями до об’єму (тобто добавляють нулів до першої послідовності та нулів до другої послідовності). Потім з доповненими вибірками об’ємом працюють як з циклічними вибірками однакового об’єму.