3.3. Автокореляційна функція

Автокореляційна функція (АКФ) є характеристикою тільки одного сигналу x(t). Вона визначає ступінь кореляції (зв’язку) сигналу з його зсунутою в часі копією та дозволяє виявляти деякі структурні особливості цього сигналу. Формули (3.1)-(3.7) відповідно набувають вигляду:

; (3.8)

(3.9)

; (3.10)

. (3.11)

Заміна та рівносильна їй заміна дає:

.

Отже, АКФ є парною функцією:

. (3.12)

При  = 0 оригінал x(t) і його копія співпадають, автокореляційна функція досягає максимального значення і дорівнює середній потужності періодичного сигналу x(t) за час T:

, (3.13)

або енергії імпульсу x(t):

. (3.14)

Автокореляційна функція не обов’язково додатна, але її максимальне значення . Із збільшенням модуля зміщення модуль автокореляційної функції спадає до нуля, але не обов’язково монотонно.

3.4. Коефіцієнти кореляції

Кореляційні функції мають певний фізичний зміст, добре сприймаються, але для практичного користування незручні, бо їх величина залежить від абсолютних значень сигналів. Щоб усунути залежність кореляційних функцій від величини сигналів їх нормують. Нормовану ВКФ називають коефіцієнтом взаємної кореляції:

. (3.15)

Порівнюючи формулу (3.15) з формулою визначення косинуса кута між сигналами, бачимо, що

. (3.16)

Тобто коефіцієнт кореляції двох сигналів при їх зміщенні на величину  дорівнює косинусу кута між цими зміщеними на  сигналами.

Отже, коефіцієнт взаємної кореляції характеризує ступінь схожості сигналів при їх зміщенні на  по напрямку безвідносно до величини сигналів. Коефіцієнт кореляції, що визначається згідно формули (3.16) не залежить від того, яким чином вводиться норма.

Величина коефіцієнта взаємної кореляції згідно (3.16) лежить в межах

. (3.17)

При значенні має місце стовідсоткова кореляція сигналів x(t) та y(t) в прямому розумінні, коли обидва сигнали подібні і співпадають за знаком. При значенні має місце стовідсоткова кореляція цих сигналів в протилежному розумінні, коли вони подібні, але протилежні за знаком. При зменшенні значення до нуля ступінь кореляції теж подає до нуля. Значення відповідає нульовій кореляції, тобто сигнали не корелюють між собою. Але при нульовій кореляції не можна говорити про незалежність сигналів x(t) та y(t), бо може мати місце нелінійна залежність. Значення означає лише лінійну незалежність.

Нормовану автокореляційну функцію називають коефіцієнтом автокореляції:

. (3.18)

При нульовому зміщенні сигналу x(t) і його копії величина коефіцієнта автокореляції. для будь-якого сигналу, випадкового чи невипадкового.

Коефіцієнти кореляції широко застосовуються в теорії ймовірностей, статистиці, при порівнянні детермінованих та випадкових сигналів і мають важливе практичне застосування.