3. Кореляційні характеристики сигналів
3.1. Кореляція сигналів
Кореляція означає відповідність, взаємозалежність, взаємозв’язок явищ та процесів. Кореляція сигналів встановлює та кількісно оцінює подібність (схожість) сигналів з допомогою кореляційних функцій.
Процес кореляції займає значне місце в обробці сигналів. Кореляція є основною операцією ЦОС. Цей математичний апарат застосовується при обробці зображень в сфері комп’ютерного зору, дистанційного зондування зі супутників, в радарах та гідроакустичних пристроях, в детектуванні та ідентифікації сигналів в шумі, в організації технічного контрою за впливом входу на вихід, в ідентифікації двійкових кодових слів в системі з імпульсно-кодовою модуляцією, в звичайних схемах оцінки методом найменших квадратів і в багатьох інших областях.
3.2. Функції взаємної кореляції
Кореляційною
функцією
двох сигналів x(t)
та y(t)
при
випередженні останнього відносно
першого на величину
називається інтеграл
.
(3.1)
На
інтервалі часу, на якому хоча б один із
сигналів дорівнює нулю, інтеграл (3.1)
дорівнює нулю. Лише в межах накладання
сигналів відносна кореляційна функція
(ВКФ)
.
Нескінченні межі інтегрування є
результатом узагальнення на випадок,
якщо інтервал накладання сигналів як
завгодно великий.
Пара сигналів має дві ВКФ в залежності від того, який з них випереджає інший. Тому, крім (3.1) має місце також формула
. (3.2)
Між
цими двома ВКФ існує певний зв’язок.
Здійснивши підстановку
,
згідно якої
,
шляхом тотожних перетворень, одержимо:
.
Отже,
, (3.3)
тобто
ВКФ
та
– обернені в часі функції.
Правомірність тотожних перетворень проілюстрована на рис.3.1.
Рис. 3.1.
Не
залежно від того, чи вважати, що сигнал
y(t)
на
випереджає сигнал x(t)
(рис. 3.1, а),
чи що сигнал x(t)
відстає на
від сигналу y(t)
(рис. 3.1, в),
в обох випадках ВКФ відповідає значенню
інтеграла від добутку
на інтервалі ab:
.
(3.3)
При конкретному значенні ВКФ – це число. Якщо розглядати як змінну, то після інтегрування по t та підстановки замість t меж інтегрування одержимо функцію від .
Властивість (3.3) ВКФ про оберненість в часі функцій та проілюстрована на рис. 3.2.
Рис. 3.2.
В
формулах (3.1) та (3.2) зміщення
розглядається як відстань і тому
вважається додатною величиною. При
порівнянні аналогових сигналів в
аналітичній формі з допомогою
та
доцільно
розглядати
як алгебраїчну величину. Тоді, якщо
змінні t
та
співпадають за знаком (t
та
мають спільний початок відліку), то
сигнал
при будь-якому зміщенні (з випередженням
чи запізненням) має однакову аналітичну
форму:
(рис. 3.3).
Рис. 3.3.
Формула (3.1) набуває вигляду
.
(3.4)
де розглядається в межах –∞ < < ∞.
З енергетичної точки зору інтеграли (3.1) та (3.2) є взаємною енергією сигналів x(t) та y(t) в залежності від їх зміщення в часі. Ці характеристики справедливі лише для сигналів, що мають скінчену енергію, наприклад, для імпульсів. Для сигналів, що мають нескінчену взаємну енергію, але мають скінчену взаємну потужність, кореляційна функція визначається виразом:
. (3.5)
Для періодичних сигналів з однаковим періодом T формула (3.5) спрощується і має вигляд:
. (3.6)
Якщо розглядаються комплексні сигнали, то в формулах (3.1), (3.2), (3.4)-(3.6) один із сигналів береться комплексно спряженим, бо енергія чи потужність мають лише дійсні значення. Рівняння (3.1), наприклад, запишеться так:
. (3.7)
В загальному випадку взаємна кореляційна функція не обов’язково додатна, не обов’язково парна, максимум якої може бути в будь-якій точці . Максимальне значення ВКФ відповідає максимальному ступеню кореляції двох сигналів.