3. Потенциал сферического конденсатора.

Проиллюстрируем применение принципа суперпозиции для решения этой задачи.

Заряды двух концентрических сфер равны +q и –q, радиусы сфер . Между сферами – вакуум.

В о всех точках пространства напряженности полей, создаваемых каждой из сфер, векторно складываются. В итоге поля снаружи обеих сфер взаимоуничтожаются ( ), между сферами поле создаётся только внутренней сферой, внутри внутренней сферы .

П отенциалы, создаваемые каждой из сфер, тоже складываются в каждой точке пространства, но теперь нам приходится складывать не векторы, а числа, что гораздо проще: .

При : , , .

При : , , .

При : , , .

***

В решении задачи 1.87 обсуждается расчет потенциала для поля бесконечной заряженной плоскости и бесконечного цилиндра.

Обратите внимание: поскольку невозможно удалиться бесконечно далеко от бесконечно протяженного заряженного тела, точку нулевого потенциала приходится выбирать иначе. Как правило, мы принимаем на поверхности самого тела (или одного из тел).

Обратите внимание также на решение задачи 1.94 о потенциале бесконечного цилиндрического конденсатора.

§ 6. Связь напряженности и потенциала

1. Мы уже знаем, как вычислять разность потенциалов по известной напряженности:

. (1)

2. Как решить обратную задачу: зная потенциал, найти напряженность поля?

Запишем для двух бесконечно близких точек 1 и 2:

, или .

Распишем скалярное произведение через проекции векторов на декартовы оси координат:

,

Отсюда видно, что:

, , . (2)

Формулы (2) позволяют найти составляющие вектора по известной функции .

В векторном анализе вводится понятие градиента скалярной функции : это вектор, составляющие которого равны . Таким образом, мы можем записать:

.

(Градиент также обозначается знаком «набла»: ).

Г радиент скалярной функции – это вектор, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания функции. (Вектор же , благодаря знаку «минус» перед градиентом, направлен в сторону наиболее быстрого убывания функции.)

Итак, электрическое поле можно описать или через напряженность, или через потенциал. Формулы (1) и (2) позволяют «переводить» описание с одного языка на другой.

Если мы видим картину линий напряженности, мы можем изобразить эквипотенциальные поверхности (на плоскости - линии). И наоборот: по картине эквипотенциальных поверхностей мы можем построить линии напряженности и оценить модуль напряженности. Такую задачу вы выполняете в лабораторной работе 2.3: средняя напряженность поля в области, скажем, между точками 1 и 2:

§ 7. Электрическая энергия взаимодействия системы зарядов

1. Рассмотрим сначала взаимодействие двух точечных зарядов , находящихся на расстоянии r друг от друга. Один из них будем считать «источником поля» (например, ), а второй – помещенным в это поле. Тогда потенциальная энергия заряда в поле заряда равна

.

2. Р ассмотрим систему из трёх точечных зарядов , находящихся на расстояниях друг от друга.

Потенциальная энергия системы W – это энергия взаимодействия трех пар зарядов:

. (2)

3) Перейдем теперь к системе из произвольного числа зарядов. Поскольку W – это энергия взаимодействия всех пар зарядов, на первый взгляд кажется, что ее можно записать как . Но в этом выражении будут присутствовать совпадающие слагаемые типа и . Поэтому правильно будет разделить эту сумму на два:

(3а).

Эту же формулу можно переписать так:

(3б),

где - потенциал, создаваемый в точке нахождения i-го заряда всеми остальными зарядами.

4) Формулу (3б) легко обобщить на случай непрерывного распределения заряда:

(4),

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами в точке нахождения элемента заряда dq.

Мы обратимся к формуле (4), когда будем находить энергию заряженного проводника.