§ 3. Понятие потока. Теорема Остроградского-Гаусса
Определение. Поток
вектора
через элемент поверхности
- это скалярная величина, равная
.
Очевидно,
>
0, если угол между нормалью и вектором
острый;
<
0, если угол тупой,
=0,
если
.
Замечание:
элемент поверхности
считают вектором, направленным по
нормали
к поверхности.
Е
сли
поверхность замкнута, то выбирается
внешняя нормаль.
Для расчета потока Ф через замкнутую поверхность надо брать интеграл по поверхности:
П
ример.
Рассчитаем поток вектора
через сферическую поверхность радиуса
R, в центре которой находится
точечный заряд q.
Линии
в каждой точке поверхности образуют
угол
с направлением внешней нормали;
.
Модуль
напряженности одинаков в каждой точке
поверхности и равен
.
Поэтому
.
Мы видим, что поток не зависит от радиуса сферы. И это напрямую связано с законом обратных квадратов для электрического взаимодействия.
Рассчитать поток поля точечного заряда через замкнутую поверхность какой-либо другой формы было бы гораздо сложнее.
Но можно доказать следующую очень важную теорему.
Теорема Остроградского-Гаусса
Поток вектора
через произвольную замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме зарядов
внутри этой поверхности,
делённой на
:
.
Так, например,
поток через поверхности
и
,
схематически изображенные на рисунке,
одинаков и равен
,
а поток через поверхность
равен нулю, т.к. внутри нее заключены
заряды
и
.
Доказательство этой теоремы опирается на два фундаментальных факта: закон Кулона и принцип суперпозиции.
Доказательство.
1) Сначала докажем утверждение для поля одного точечного заряда.
Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S. Найдем поток dФ через элемент поверхности dS:
.
- это проекция площадки dS
на плоскость, перпендикулярную
радиусу-вектору
,
а отношение
есть телесный угол
с вершиной в точке расположения заряда
q, опирающийся на
площадку dS . Таким
образом,
.
Интегрирование потока по всей поверхности сводится, таким образом, к интегрированию по полному телесному углу:
.
2) Пусть внутри поверхности находятся
несколько зарядов
…. В каждой точке пространства
.
Поток через элемент поверхности
Поэтому полный поток
.
Обратите внимание: в то время как поле зависит от расположения зарядов и меняется при их перемещении, поток Ф зависит только от суммарного заряда внутри поверхности.
Г
еометрический
смысл потока. Поток пропорционален
числу силовых линий, пронзающих
поверхность, причем линии входящие в
поверхность надо считать со знаком
плюс, а выходящие – со знаком минус:
Ф
число
входящих линий – число выходящих линий
Если внутри поверхности нет зарядов, линии не могут кончаться или начинаться внутри неё, поэтому число входящих линий равно числу выходящих, и поток равен нулю.
Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчету полей
В некоторых случаях теорема Остроградского-Гаусса позволяет очень просто найти напряженность поля. Число таких случаев, однако, очень невелико.
П
оле
бесконечной равномерно заряженной
плоскости.
Пусть поверхностная плотность заряда
плоскости равна
.
Это значит, что на любом участке плоскости
площадью S находится
заряд
.
Шаг 1. Прежде всего, попробуем
нарисовать линии напряженности. Линии
начинаются на зарядах плоскости и могут
идти только перпендикулярно к ней – из
соображений симметрии. Из рисунка
видно, что поле однородно: лини нигде
не сгущаются. Значит, напряженность Е
одинакова п
о
модулю во всех точках пространства.
Обратите внимание: мы смогли сделать этот вывод только на основании симметрии задачи.
Шаг 2. Выбираем такую замкнутую поверхность, поток через которую легко можно рассчитать. В данном случае такой поверхностью является цилиндр (см. рис.) Пусть площадь оснований цилиндра S. Лини напряженности скользят по боковой поверхности цилиндра ( ), не создавая потока через неё. Поток же через оба торца положителен (линии выходят) и равен
.
(1)
Шаг 3. Применим теперь теорему
Остроградского-Гаусса. Заряд
оказался внутри цилиндра; весь остальной
заряд – снаружи. Поэтому поток
.
(2)
Шаг 4. Сопоставляя выражения (1) и (2) для потока, получаем уравнение:
,
откуда
