Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме
Теорема Остроградского-Гаусса может быть записана и в другой, так называемой дифференциальной, форме:
,
где
- объемная плотность заряда.
Дивергенция – это скалярная характеристика векторного поля, определенная в каждой точке поля.
Рассмотрим поверхность S,
окружающую малый объём V.
Пусть внутри объема находится заряд
.
Будем постепенно уменьшать объем V,
стягивая его к точке.
По определению,
.
Но согласно теореме-Остроградского-Гаусса
,
откуда следует, что
.
В декартовой системе координат дивергенцию можно рассчитать через составляющие вектора следующим образом:
.
§ 4. Циркуляция вектора напряженности. Разность потенциалов
Д
ля
любого векторного поля используют еще
одну его характеристику – циркуляцию.
Это интеграл, рассчитанный по замкнутому
контуру:
.
Для электрического поля у этого интеграла есть простой физический смысл. Так как напряженность определяет силу, действующую на помещенный в поле заряд q, отнесенную к величине этого заряда ( ), то
.
Но скалярное произведение силы на перемещение – это работа силы. Поэтому циркуляция вектора равна отношению работы А электрического поля к величине перемещаемого по замкнутому контуру заряда:
.
Из курса механики вам известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным (потенциальным), т.е. работа сил этого поля по замкнутому контуру равна нулю.
Электростатическое поле создается системой точечных зарядов. Поле каждого неподвижного точечного заряда – центральное (линии напряженности направлены к центру или от центра), значит, оно потенциально.
Из принципа суперпозиции полей следует, что поле любой системы неподвижных точечных зарядов потенциально.
Поэтому можно утверждать, что для электростатического поля
-
=0
Следствие. Линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми.
Утверждение легко доказывается от противного: если бы существовала замкнутая линия напряженности, то работа поля при перемещении положительного заряда по этой линии была бы заведомо положительной, т.к. электрическая сила на каждом отрезке пути была бы направлена вдоль перемещения.
Потенциальность электростатического поля позволяет ввести еще одну его характеристику, скалярную.
Определение 1. Разность потенциалов между точками 1 и 2 – это работа поля по перемещению пробного заряда q из точки 1 в точку 2, деленная на величину этого заряда:
Можно также сказать, что (
)
– это работа поля по перемещению
единичного положительного заряда из
точки 1 в точку 2.
Эта формула используется для расчета разности потенциалов для поля, напряженность которого уже известна.
Зная разность потенциалов между точками 1 и 2, можно найти работу поля по перемещению произвольного заряда q:
Чтобы определить не разность потенциалов, а сам потенциал в каждой точке поля, мы должны выбрать точку нулевого потенциала. Так же, как и при определении потенциальной энергии, этот выбор произволен.
Определение 2. Потенциал в некоторой точке С равен:
Можно сказать, что потенциал в некоторой точке равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в точку нулевого потенциала.
Потенциальная энергия (будем обозначать ее буквой W, чтобы не путать с напряженностью) заряда q, помещенного в электрического поле, тоже определяется через работу поля, но вычисленной не для единичного, а для данного заряда. Поэтому
;
.
Единица измерения потенциала. Из определения 1 видно, что единица потенциала в СИ - это Дж/Кл. Эта единица называется Вольт:
Из того же определения видно, что единицу напряженности можно представить как В/м:
[E] = В/м = Н/Кл.