Тема 2. Основы моделирования систем, процессов и аппаратов

План

1. Основные принципы системного анализа

2. Четыре основных этапа системного исследования процесса.

3. Математическое описание функционирования системы

4. Метод подобия как основа исследования. Подобные явления, константы инварианты подобия.

5. Теоремы подобия и метод анализа размерностей. Критерии подобия.

6. Моделирование процессов, основные понятия. Математическое и физическое моделирование.

Тезисы лекции

1. Современный подход к решению технологических задач основан на принципах системного анализа. Согласно этим принципам технологический процесс рассматривается как сложная система, состоящая из элементов различных уровней детализации. При анализе технологического производства (цеха, завода) принято выделять несколько уровней иерархии, между которыми существует отношение соподчиненности:

- на первом уровне находится элементарные процессы технологии (химические, тепловые, механические, гидромеханические) и на более высоких – элементы, которые могут быть выделены в таковые по признаку (цех, производство, предприятие).

Предметом изучения данного курса являются следующие системы:

- основные стадии технологического процесса (совокупность элементарных признаков)

- технологический процесс производства материалов в целом

- результат производства – строительный материал как система.

2. Академик В.В. Кафаров выделяет четыре основных этапа системного исследования процесса.

2.1 Смысловой и качественный анализы объекта производства для выявления отдельных элементов и связей между ними. Выбор элементов осуществляется исходя из общей цели исследования.

2.2 Формализация имеющихся знаний об элементах и их взаимодействии и представление этих знаний делается в виде математических моделей.

Источники: фундамент зданий и экспериментальные данные. Математическая связь между входными и выходными параметрами.

2.3 Математическое моделирование как метод исследования – это воспроизведение реально протекающих явлений на модели. Это совокупность математического описания и алгоритма решения.

Рисунок 1.1 - Структура математической модели (на примере R_б = А R_ц ( Ц/В ± 0,5)

2.4 Идентификация математических моделей элементов состоит в определении неизвестных параметров и оценке параметров состояния объекта.

Явления, определяющие процессы химического превращения, тепловых потоков и другие являются по своей природе вероятностными, т.е. есть ограничения, допуски.

Получить более реальные характеристики процесса можно лишь после проведения коррекции параметров модели исходя из заданного критерия по экспериментальным данным.

2.5 Рассматривая технологический процесс, как сложную систему, необходимо учитывать взаимодействие ее с внешней средой и внутренние взаимодействия отдельных элементов системы. На рис.2 представлена схема внешних связей системы.

Внешние воздействия, оказываемые на систему – входы или факторы и обозначенности через h, x, y.

Результаты функционирования системы, т.е. воздействия системы на внешний мир, - выходы или отклики и обозначается через у.

Н

H₁ Н₂ Н₃ Нn

Система

Х₁ У₁

Х Х₂ У₂ У

Х₃ У₃

Хn Уn

Z₁ Z₂ Z₃ Zn

Z

Рисунок 1.2 - Система внешних связей системы

Совокупность факторов (h, x, z, y) обозначается векторами факторов Х, Н, Z,Y.

Принято:

– фактор Х – контролируемый, но не регулируемый (пример нельзя изменить L и D сушильной установки в процессе работы)

– фактор Н – контролируемый и регулируемый (пример: время перемешивания бетонной смеси)

– фактор Z – неконтролируемый (объект мало изучен, выход из строя системы дозировки и т.д.) обычно его называют шумом.

Математическое описание функционирования системы в общем виде представляется системой уравнения типа

у_i = k(Н, Х, Z)

Часто шум выделяют в отдельную задачу и тогда уравнение

у_i = φ₁(Н, Х)

При технологических процессах существуют свои множители: т.е.

L₂/ L₁ = С_L V₂/V₁ = C_V F₂/F₁ = C_F t₁/t₂ = Ct и т.д.

- коэффициенты называются константами подобия.

Основные уравнения подобия Х_i = С_Хi Х_i¹ .

Подобие уравнений можно выразить посредством инвариантов подобия:

L₁/ D₁ = L₂/ D₂ = i_L = const,

i_L - инвариант геометрического подобия.

Инвариант подобия различен для разных точек системы:

L₁/ D₁ = L₂/ D₂ = i_L l_1m/ D₁ = l_1n/ D₂ = i_l

m – модель n – производство i_L ≠ i_l

Взаимозаменяемость констант С_Z = Δt₂ / Δt₁ = dt₂ / dt_{1 .}

2.6 Теоремы подобия

Первая теорема подобия (по Ньютону): подобные между собой явления имеют численно одиноковые критерии подобия. Пример: второй закон Ньютона: F = m (dv/dt)

F₁ = C_F F₂ V₁ = C_V V₂ t₁ = С_t t₂ m₁ = с_m m₂

C_F . . . с_m - константы подобия

F₁/F₂ = ( m₁/m₂)( dv₁/dv₂)( dt₂/dt₁) . . .

C_F = с_m · с₂/с_t . . . C_F с_t/ с_m с_v = 1 - индикатор подобия равен j , т.е. выбор значений подобия не произволен. То есть у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

N_e = Ft/(mv)

Критерий подобия: отношение действующей на частицу силы к силе инерции.

N_e1 = N_{e2 . . .} i dem (инвариантность)

N_e - критерий подобия.

Вид этой функции можно получить из двух разных подходов:

1. Структурный подход

Для создания математической модели системы исследуют составляющие систему элементы и характер их взаимодействия. Например, для процесса производства сборного железобетона такая модель на физическом языке содержит, прежде всего представления о механизмах реакции гидротации, процесса переноса теплоты и вещества и их взаимное влияние. Необходимо определить параметры модели (константа скорости реакции и т.д.). Их устанавливают экспериментально. Затем составляют систему уравнений описывающие все процессы. На практике таких уравнений пока нет.

2. Эмпирический подход (или метод черного ящика). Для этого необходимо изменять значения входов и устанавливать как будут изменяться выходные параметры. Проводится определенное количество экспериментов, результаты их можно описать эмпирическим уравнением (или системой уравнений), которое и будет математической моделью системы. Основным достоинством эмпирического метода является простота при изучении сложных процессов:

R_б = φ (R_ц Ц/В) ; R_б = k (t , t⁰)

Слабость – малая надежность экстраполяции.

4. Теория подобия – есть учение о методах научного обобщения эксперимента. Она отвечает на вопрос как нужно поставить опыт и обработать данные, чтобы их можно было распространить на подобные явления.

Подобными явлениями называют системы тел геометрически подобные друг другу, в которых протекают процессы одинаковой природы. И в которых одноименные величины, характеризующие явления, относятся между собой как постоянные числа. Пример: барабан сушилки: аппарат и его модель L₂ = cL₁ D₂ = cD₁ с – масштабный коэффициент, константа.

Вторая теорема (Федермана - Бэкингема): количественные результаты опытов надо представить в виде уравнений, выражающих зависимость между критериями подобия изучаемого процесса. То есть интересующий критерий, как функция других критериев: К₁= k( К₂ К_{3 . . .} К_n).

Тогда k₁( К₁ К_{2. . .} К_n) = 0.

Независимо от воли человека развитие природы следует законам геометрической прогрессии. И тогда К₁= с К₂^m К₃ ⁿ_{. . .} К₄^p. . .

Где с, m, n, p – постоянные, найденные при обработке опытов.

6. Основные принципы моделирования

Под моделированием понимают метод исследования, при котором вместо непосредственно интересующего нас процесса, протекающего в оригинале, изучается процесс на модели.

Требования к моделированию:

- опыты на модели должны проводится быстро и быть простыми, удобными, безопасными

- должны быть известны алгоритмы расчетов параметров

- моделирование должно быть иметь приближенный характер.

Предмет по

-физические

абстракционно-знаковые

Рисунок 1.3 - Классификационный признак модели

К моделям детерминированных систем относятся такие, в которых все элементы взаимодействуют точно предвиденным способом, а случайные факторы Z не влияют.

- модели стохастических систем подчиняются вероятностным законам (случайные входы(ветер, стена и т.д.)

- субстанционные модели – материал по своим свойствам подобен материалу объекта(из бетона выпиливают образец для испытания)

- структурные модели – имитируют структуру или способ взаимодействия элементов объекта между собой (завод – поставщик- карьер)

- функциональные модели – имитируют одну или несколько основных функций объекта

(m = k(С В/Ц)) с – концентрация теста – опытным путем

- к предельно-физическим моделям относятся модели сохраняющие природу явления (из дерева выпиливают образец)

- математические модели – частный случай абстрактно-знаковых моделей, отражает взаимосвязь в виде специальных символов и математического моделирования.

Изменения свойств объектов переработки происходит в результате их взаимодействия с другими телами. Эти материальные тела, объекты переработки – система, а другое тело – окружающая среда.

Изменение свойств системы происходит в результате процессов переноса массы и энергии между отдельными ее частями и окружающей средой.

Перенос вещества и энергии происходит молекулярно и конвективно.

Молекулярный перенос – перенос за счет движения микрочастиц (электронов, молекул) – в твердых – колебательные движения частиц, в газах - тепловое движение микрочастиц. Перенос вещества и энергии движущей силой - конвективный перенос.

Принцип Ле-Шателье: направление сил, возникающих в системе, противоположно направлению возникающей силы.

Правило Гиббса выражает зависимость между количеством компонентов системы К, фаз Ф и ее степенью свободы S: S = К - Ф + 2.

Материальный баланс основан на использовании закона сохранения энергии:

G вх+G у = G вых +G ос,

где G вх, G у – количество материала поступающего в установку и имеющегося в установке

G вых и G ос – количество материала выходящего из установки и остающегося в установке.

Энергетический баланс основан на законе сохранения энергии

Q ₁+ Q ₂ + Q ₃ = Q ₄ + Q _5,

где Q _1, Q ₂, Q ₃ – количество тепла поступающего в установку

Q ₄ ,Q _5, - количество тепла уходящего из установки.