Задача 14.

Стальний вал трансмісії (рис.14, табл.14) передає потужність Р при n обертах на хвилину.

Необхідно визначити із умови міцності при згинанні з крученням діаметр вала, якщо допустиме напруження для матеріалу вала [s] = , s_т – границя текучості, К-коефіціент запасу міцності (безпеки).

Таблиця 14

Номер рядку	Схема вала	Р, кВт	n, об/хв	а, м	в, м	с, м	D1, мм	D2, мм	a1, град	a2, град	K	Матеріал вала sт, МПа
1	I	35	550	0,80	0,80	0,80	200	300	10	0	2,8	Ст.3, sт =250
2	II	25	300	0,80	0,70	0,90	250	350	15	30	2,9	Ст.4, sт =280
3	III	30	600	0,70	0,90	1,20	300	400	20	35	3,0	Ст.5, sт =320
4	IV	40	350	0,90	1,00	1,10	350	450	30	40	3,1	Ст.30, sт =370
5	V	45	450	1,00	1,10	1,00	400	500	40	45	3,2	Ст.40, sт =340
6	VI	50	550	1,10	1,20	0,90	450	550	45	60	3,3	Ст.45, sт =360
7	VII	55	500	,20	1,30	0,70	500	600	50	45	3,8	Ст.20Х, sт =650
8	VIII	60	650	1,30	1,20	0,80	550	650	60	90	4,1	Ст.40Х, sт =800
9	IX	70	450	1,40	1,10	0,90	600	700	90	30	4,3	С.30ХГ, sт =800
10	X	80	550	1,20	1,00	1,00	650	750	30	60	4,6	Ст.50ХН sт =900
	в	а	б	в	а	б	в	а	б	в	б	б

Рисунок 14

Порядок розрахунку:

1. Накреслити в масштабі розрахункову схему вала.

2. Визначити моменти, які передаються шківами (схеми II, IV, VII, IX) і зубчатими колесами (схеми I, III, V, VI, VIII, X );

3. За допомогою метода перерізів побудувати епюру крутних моментів;

4. Визначити колові сили F₁ і F₂ (для зубчатих коліс) або сили натягу в пасах s₁ i S₁; s₂ і S_2;

5. Визначити сили натискання на вал з боку ведучої S і веденої s віток пасової передачі. Сили натискання на вал у місці посадки зубчатих коліс дорівнюють коловим силам Fі;

6. Побудувати діаграму сил. Визначити вертикальні і горизонтальні складові сил натискання на вал;

7. Побудувати епюри згинальних моментів окремо від вертикальних і горизонтальних сил;

8. Побудувати сумарну епюру згинальних моментів;

9. Аналізуючи епюри крутних і згинальних моментів установити небезпечний переріз. Визначити зведений розрахунковий момент за третьою і четвертою теоріями міцності;

10. Визначити допустиме напруження для матеріалу вала;

11. З умови міцності при згинанні з крученням , використовуючи зведені розрахункові моменти визначити діаметр вала. Прийняти діаметр згідно рекомендаціям стандартів.

Приклад рішення задачі:

1. Розрахункова схема вала зображена в масштабі з позначенням усіх розмірів і діючих сил на рис.XIV. Передається потужність Р=85кВт при частоті обертів n=300об/хвил. Границя текучості матеріалу вала sт=320МПа, коефіцієнт запасу к=3.

2. Визначаємо скручуючий момент:

3. Враховуючи те, що зубчатих коліс на валу два, ділянка між ними скручується постійним крутним моментом:

4. Визначаємо сили F₁ і F₂:

5. У місці посадки зубчатих коліс на вал будуть тиснути сили F₁ і F₂;

6. Будуємо діаграму сил і визначаємо їх вертикальні і горизонтальні складові. Сила F₁ діє в горизонтальній площині, тому F₁^г =F₁= 17730,94Н.

Діаграма сил показана на рис. XIV,a.

7. Будуємо епюри згинальних моментів.

Горизонтальна площина; визначення реакцій

Перевірка:

Побудова епюри згинальних моментів:

Рисунок ХІV

Рисунок ХIV

В побудові епюри між цими точками потреби нема у зв’язку з тим, що розподілене навантаження відсутнє і епюра згинальних моментів буде мати вид прямої похилої до бази лінії. Епюра в горизонтальної площині зображена на рис.XIV, г.

Вертикальна площина; визначення реакцій:

Перевiрка:

Побудова епюри згинальних моментів:

Епюра в вертикальній площині зображена на рис.XVI,e.

8. Побудова сумарної М_∑ епюри згинальних моментів:

Сумарна епюра згинальних моментів побудована на рис.XIVж.

9. Найбільшим є згинальний момент в точці С

Визначимо розрахункові моменти

Третя теорія міцності

Четверта теорія міцності

10. Визначимо допустиме напруження для матеріалу валу:

11. З умови міцності при згинанні з крученням визначаємо діаметр вала:

Третя теорія міцності

Четверта теорія міцності :

Остаточно згідно з рекомендаціями стандартів приймаємо діаметр вала d=95мм.

Задача 15

Перевірити міцність в точках A i В кривого бруса поперечного переріза А В (рис 15, табл 15), як-що матеріал бруса сталь 20, [σ] = 160МПа.

Рисунок 15

Рисунок 15

Таблиця 15

Номер	Схема	Навантаження		F, кН	l, см	d, см	R2, см
рядка		крюк	скоба	напівкільце
1	I	16	9	1,5	20	3	6
2	II	17	8	1,7	30	3,2	6,4
3	III	28	7	1,9	32	3,6	6,8
4	IV	19	6	2	34	3,8	7,2
5	V	18	5	2,3	36	4	7,6
6	VI	14	6	2,5	38	4,2	8,2
7	VII	20	7	2,1	34	4,1	8,6
8	VIII	18	8	1,9	32	4,2	9
9	IX	17	9	1,6	28	4,3	8,8
10	X	26	10	1,8	24	3,4	7
	в	б	б	б	а	в	а

Порядок розрахунку:

1. Накреслити в масштабі схему кривого бруса i його nepepiз A,B, вказати вci необхідні величини в буквенім i цифровім виразі

2. Визначити розташування центру ваги перерізу.

3. Визначити радіуси кривизни осьової лінії і зовнішнього шару.

4. Визначити радіус кривизни нейтральної oci (шару) r.

5. Визначити відстань нейтрального шару (oci) до центру ваги nepepiзy Z_o = R_o – r

6. Визначити статичний момент площі пepepiзy А В відносно нейтрального шару: S=Zo ·A

7. Визначити відстань від нейтрального шару до найбільш вiддaлeниx точок A i В nepepiзa i радіуси кривизни шapiв, де розміщені ці точки.

8. Визначити згинальний момент M_3Г i нормальну (осьову) N силу в пepepiзi AB.

9. Визначити повні нормальні напруження в точках A i В переріза. Побудувати епюру норма- льних напружень в пepepiзi AB.

10. Перевірити міцність кривого бруса.

Приклад рішення задачі:

1. Для заданої розрахункової схеми кривого бруса (рис XV, а) накреслимо в масштабі небезпечний пepepiз AB (рис XV, в), вкажемо вci необхідні для розрахунку величини.

2. Визначаємо розташування центра ваги перерізу, обчисливши відстань С за формулою:

Для круглого i прямокутного пepepiзів положення центра ваги відоме.

3. Визначимо радіуси кривизни:

1. осьові лінії R_o = R₂ + с = 50 + 58,3 = 108,Змм

2. зовнішнього шару R₁ = R₂ + h = 50 +140 = 190мм.

4. Обчислюємо радіус кривизни нейтрального шару трапецієвидного перерізу:

Рисунок ХV

мм

Примітка Радіус кривизни нейтрального шару r можна обчислити за формулами для перерізів

a) прямокутного ;

b) круглого .

5. Визначаємо відстань від нейтрального шару до центру ваги C переріза :

Z₀ = R₀ – r = 108,3 – 94.6 = 13,7 мм.

Примітка: Величину Z₀ ( значить і положення нейтрального шару )можна обчислити за формулою Z₀ = KR₀ ; коефіцієнт "К" приймається по таблицям в залежності від розмірів i форми переріза та відношення . Так в умовах приклада його величина з використанням лінійної інтерполяції і даних таблиці 31 (Справочник по сопротивлению материалов под редакцией Г.С. Писаренко. Из­дательство «Наукова думка», 1975г.) дорівюе К=0,128. Таким чином Zo = 0,128∙108,3 = 13,86мм, що близько до аналітичного значення.

6. Обчислюємо статичний момент площі А перерізу відносно нейтрального шару (oci У):

S_y = A · Z₀ = · h ·Z₀ = · 140 · 13,7 = 115080 мм³;

7. Обчислюємо відстань від нейтральної осі Y до точок А і В:

Z_A = r – R₂ = 94,6 – 50 = 44,6 мм R₂ = R_A = 50мм

Z_B = R₁ – r = 190 – 94,6 = 95,4мм R_B = R₁ = 190мм

8. Визначаємо зусилля у перерізі АВ ( рис. XV,б):

1. Поздовжня сила N = F = 150 Кн.

2. Згинальний момент M = – F · R₀ = – 150 · 108,3 · 10^-3 = – 16,245Кнм

Знак “ мінус” прийнятий за правилом знаків для згинальних моментів у кривих стержнях : якщо момент діє так, що намагається розпрямити кривий брус, то його слід приймати від’ємним.

9. Обчислюємо нормальні напруження в точках А та В:

σ_A = = 17, 9 + 125, 9 = 143,8МПа

σ_В = = 17,9 – 70,9 = – 53МПа

Епюра нормальних напружень показана на рис XV,г.

10. Міцність кривого бруса забезпечена тому, що σ_А = 143,8 МПа < [ σ ] = 160MПа,

σ_в = МПа < [ σ ].

Задача 16

Для cтискаємої силою F (рис 16, табл16) стійки підібрати поперечний переріз, який складається з прокатних профілів, якщо матеріал стійки сталь - марки СтЗ, границя текучості = 240Мпа, основне допустиме напруження [ σ_c ] = / Кт, Кт - коефіцієнт запасу міцності.

Таблиця 16

Номер рядка.	Розрахункова схема стійки.	Схема пеpepiзy стійки.	F, кН	1, м	а, см	в,см	Кт
1	I	X	450	3,0	6	6,4	1,4
2	II	IX	600	3,5	6,4	7,0	1,6
3	III	VIII	500	4,0	7,0	7,4	1,8
4	IV	VII	450	5,0	7,6	8,0	2,0
5	V	VI	350	4,5	8,0	8,4	1,9
6	V	V	250	5,5	8,4	8,8	1,7
7	IV	IV	550	4,8	8,6	9,2	1,5
8	III	III	650	5,2	9,6	9,8	1,6
9	II	II	300	3,8	10,0	10,4	1,8
10	I	I	400	5,5	12,0	10,6	1,5
	б	в	а	б	в	а	б

Порядок розрахунку:

1. Накреслити розрахункову схему i схему поперечного переріза стійки. Виписати вихідні дані.

2. Виходячи з умов закріплення кінців стійки (згідно шифра), встановити коефіцієнт зведення довжини стійки.

3. Визначити основне допустиме напруження [σ_с] для матеріалу стійки.

4. Методом послідовних наближень, варіюючи значеннями коефіцієнта φ зменшення основного допустимого [ σ_c ] напруження при розрахунках на стійкість, підібрати складові шуканого пepepiзу. В першій cпpoбi беруть φ₁ = 0,5 ÷ 0,6.

5. Переріз вважається підібраним задовільно, якщо напруження σ = ( A_K – остаточна площа перерізу; φ_k – остаточне значення ) відрізняється від [ σ_c ] не більш ніж ± 5%.

Приклад рішення задачі

1. На рис. XVI накреслена розрахункова схема стійки, стискаємої силою F=400kH, її умови закрі- плення i поперечний пepepiз з позначенням вихідних даних.

2. Для зображеної схеми з умов закріплення кінців стійки коефіцієнт зведення довжини ν = 2.

3. Визначаємо допустиме напруження, якщо коефіцієнт запасу міцності Кт=1,5 i σ_Т = 240МПа :

[σ] = = = 160МПa

4. Методом послідовних наближень визначаємо складові переріза стійки.

Рисунок 16

Рисунок 16

Рисунок XVI

1. Для першого наближення приймаємо коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження φ₁ = 0,5.

1. Необхідна площа переріза стійки : A = 50см²

1.2 Площа одного швелера: A₁ = = 25см²

1.3 По таблицям сортаменту ( ГОСТ 8240-72) приймаємо швелер №20а, який має такі параметри : А_1табл = 25,2см² ; J_x = 1670см⁴ ; J_y = 139см⁴ ; Z₀ = 2,28см.

1.4 Визначаємо момент інерції для всього перерізу відносно головних центральних осей X_c і Y_c :

J_xc = 2J_x = 2 · 1670 = 3340cм⁴ ;

J_yc = 2[ J_y + A_1табл · m² ] = 2 = 2663,6см⁴

J_min = J_yc = 2663,6см⁴;

1.5 Мінімальний радіус інерції перерізу:

i_min = 7,27см;

1.6 Гнучкість стійки:

7. Згідно таблиць коефіцієнтів φ з використанням інтерполяції цій гнучкості відповідає φ_табл:

φ_табл = 0,21 – ( 192,6 – 190 ) = 0,2

2. Друге наближення = = 0,35, повторюємо розрахунки в послідовності 1.1 – 1.7;

1. А ≥ = 71,4см²

2. А₂ = = 35,7см²

2.3 Приймаємо швелер №27 у якого А_2табл= 35,2см² ; J_x = 4160см⁴ ; J_y = 262см⁴ ; Z₀ = 2,47см.

2.4 J_xc = 2 · 4160 = 8230cм⁴ ;

J_yc = 2 = 4042,4см⁴

J_min = J_yc = 4042,4см⁴;

5. i_min = 7,6см;

2.6 = 185

2.7 Згідно таблиць φ – цій гнучкості відповідає φ_2табл = 0,22

3. Третє наближення = = 0,28

3.1 А ≥ = 89,28см²

3.2 А₃ = = 44,64см²

3.3 Приймаємо швелер №33 у якого А_3табл = 46,5см² ; J_x = 7980см⁴ ; J_y = 410см⁴ ; Z₀ = 2,59см.

3.4 J_xc = 2 · 7980 = 15960cм⁴ ;

J_yc = 2 = 5628см⁴

J_min = J_yc = 5628см⁴;

5. i_min = 7,8см;

6. = 180

7. Згідно таблиць φ – цій гнучкості відповідає φ_3табл = 0,23

4. Четверте наближення = = 0,255

1. А ≥ = 99см²

2. А₄ = = 49,5см²

3. Приймаємо швелер №36 у якого А_4табл = 53,4см² ; J_x = 10820см⁴ ; J_y = 513см⁴ ; Z₀ = 2,68см

4.4 J_xc = 2 · 10280 = 21640cм⁴ ;

J_yc = 2 = 6686см⁴

4. J_min = J_yc = 6686см⁴

5. i_min = 7,9см;

6. = 177

7. Згідно таблиць φ – цій гнучкості відповідає φ_4табл = 0,24

5. Визначаємо дійсне напруження

= 156МПа

Визначаємо різницю напружень 100% = 2.5% < 5%. Тобто цей переріз задовольняє умові стійкості.

Задача 17.

Для системи (рис. 17, табл. 17), яка складається з стального валика з яким жорстко з'єднаний ламаний стержень такого ж діаметра, визначити граничне число обертів, якщо допустиме напруження матеріалу [ σ ].

Таблиця 17.

Номер рядка	Схема	ℓ , мм	d, мм	[ σ], МПа
1	X	0,50	20	110
2	IX	0,60	22	100
3	VIII	0,70	25	90
4	VII	0,80	28	80
5	VI	0,90	30	70
6	V	0,86	34	85
7	IV	0,74	36	95
8	III	0,96	38	100
9	II	0,56	40	60
10	І	0,68	42	75
	в	а	б	в

Порядок розрахунку:

1. Накреслити в масштабі розрахункову схему.

2. Визначити інтенсивність сил інерції на ділянках, які паралельні до осі обертання, і інерційні сили.

3. Визначити інерційні сили на ділянках, які ортогональні до осі обертання.

4. Згідно з принципом Даламбера навантажити інерційними силами задану систему. Визначити реакції опор.

5. Скласти на всіх ділянках системи вирази для згинальних моментів і поздовжніх сил. Побудувати епюру М.

6. З умови міцності по нормальним напруженням для небезпечного переріза визначити допустиме число обертів системи.

7. У разі необхідності виконати перевірку міцності у тих перерізах, де зокрема згинального момента діють поздовжні сили.

Приклад рішення задачі:

1. Накреслимо в масштабі розрахункову схему з позначенням усіх розмірів (рис XVII, а).

Визначаємо інтенсивність сил інерції на ділянках DK i KL, паралельних осі обертання по формулі :

тут: – маса одиниці довжини ділянки стержня паралельної осі обертання ;

– площа перерізу стержня ;

r – радіус обертання цієї ділянки навколо осі АС ( вісь Z );

– кутова швидкість;

– доцентрове прискорення точок цієї ділянки;

g = 9, 81 м/сек² – прискорення вільно падаючої матеріальної точки;

γ = 78 кН/м³ – питома вага матеріалу;

Таким чином ( при r = h )

2. Визначаємо інтенсивність сил інерції на ділянці BK:

– це пряма похила до напрямку ВК.

y = 0; q(0) = q_B = 0; q( h ) = q_K = q_DL = 80,5 · 10^-3 n²

4. Згідно з принципом Даламбера навантажимо інерційними силами задану систему. Позначимо

реакції опор і обчислимо їх величину ( рис XVII, в ).

= 0; V_C · 3ℓ – q_DL · 3ℓ · q_Kh ·ℓ = 0;

V_C = n² · 10^-3 = 55,1·10^-3 n² Н;

= 0; q_DL · 3ℓ · q_Kh ·2ℓ – V_A · 3ℓ = 0;

V_A = n² · 10^-3 = 67,4·10^-3 n² Н;

Перевірка реакцій опор;

= 0; V_A + V_C – q_DL · 3ℓ – q_Kh =

= ( 67,4 + 55,1 – 1,05·80,5 ) 10^-3 n² ≈ ( 122,5 – 122,5 ) 10^-3 n² = 0;

5. За допомогою метода перерізів послідовно на кожній ділянці напишемо вирази для згинального моменту М( Z_i ) і поздовжньої N(Z_i) сили:

0 ≤ Z₁ ≤ ℓ = 0.35м; N(Z₁) = 0;

М( Z₁ ) = V_A · Z₁; M(0)=0; M(0,35) = 23,59 · 10^-3 n² Hм;

0 ≤ Z₂ ≤ ℓ = 0.35м; N(Z₂) = 0;

М( Z₂ ) = ; M(0)=0; = M(0,35) = – 4,93 · 10^-3 n² Hм;

0 ≤ Z₃ ≤ 2ℓ = 0.7м; N(Z₃) = 0;

М( Z₃ ) = ; M(0)=0; = M(0,7) = – 19,91 · 10^-3 n² Hм;

0 ≤ Z₄ ≤ h = 0.95м;

N(Z₄) = q_DL · 3ℓ + q_K · h = ( 80,5 · 3 · 0,35 + 0,5 · 80,5 · 0,95 ) 10^-3 n² = 122,5 · 10^-3 n² H;

M(Z₄) = – = 19,91 · 10^-3 n² – 4,93 · 10^-3 n² = 14,98 · 10^-3 n² Hм;

0 ≤ Z₅ ≤ 2ℓ = 0.7м; N(Z₅) = 0;

М( Z₅ ) = V_C · Z₅; M(0)=0; M(0,7) = 38,57 · 10^-3 n² Hм;

На рис. XVII,с побудована епюра М

Рисунок 17

Рисунок ХVII

Виконуємо статичну перевірку епюри М у вузлі В і К: алгебраїчна сума згинальних моментів у кожному вузлі повинна дорівнювати нулю.

= 0; 23,59 + 14,98 – 38,57 = 0; = 0; 19,91 – 14,98 – 4,93 = 0;

5. Визначимо з умови міцності допустиме число обертів системи, якщо [ σ ] = 60Mпа.

Із епюри максимальний згинальний момент в перерізі В, який належить дільниці BC,

M_max = 38,57 · 10^-3 n² Hм;

Момент опору переріза валика:

W = ≈ 4,2 · 10^-6 м³;

Умова міцності має вигляд:

σ_max = = ≤ [σ ] = 60 · 10⁶ Па;

[n] ≤ = = 81об/хв;

7. Перевіримо міцність стержня ВК в точці В, де діють M_B = 14,98 · 10^-3 n² Hм і

N_D = 122,5 · 10^-3 n² H; Напруження в точці В від згинання і розтягання :

σ_B = + = + = 24,5 · 10⁶ Па < [ σ ] = 60 · 10⁶ Па;

Міцність забезпечена.

Задача 18.

На двотаврову балку (рис. 18, табл. 18), яка міститься на двох жорстких опорах, з висоти h падає вантаж F.

Необхідно:

1. Визначити найбільші напруження в балці, а також в аналогічній балці, у якій права опора замінена пружиною з податливістю (тобто осадкою від вантажу вагою 1кН) α .

2. Порівняти результати.

Розрахунки провести без урахування маси балки.

Таблиця 18

Номер рядка	Схема	Номер Двотавра ГОСТ 8239-89	F, кН	h, м	ℓ, м	α,м / Кн
1	І	20	1,10	0,12	6,0	0,021
2	II	24	1,20	0,14	5,8	0,022
3	III	27	1,00	0,16	5,6	0,023
4	IV	30	0,90	0,18	5,4	0,024
5	V	30а	0,80	0,20	4,0	0,030
6	VI	27а	0,70	0,22	4,4	0,028
7	VII	24а	0,50	0,18	4,6	0,027
8	VIII	20	0,60	0,16	4,8	0,026
9	IX	30	0,80	0,14	5,0	0,025
10	X	27	0,40	0,12	5,2	0,029
	в	б	в	б	в	а

Рисунок 18

Порядок розрахунку:

Задача складається з двох частин: І частина – балка опирається на дві жорсткі опори; II– частина од­на з опор (права) пружинна з заданим коефіцієнтом податливості α .