3. Множество действительных чисел.

Рассмотрим аксиоматический метод введения вещественного (действительного) числа.

Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных иQ (I) иррациональных чисел.

Определение 1: Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем q0.

Определение 2: Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным.

Всякое рациональное число p/q является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.

Всякое иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.

Действительные числа

4. Основные свойства вещественных чисел.

1. Сложение и умножение вещественных чисел

Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b и а·b, называемые их суммой и произведением, обладающими следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

1. a+b=b+a (переместительное свойство) — коммутативность сложения.

2. a+(b+c)=(a+b)+c (сочетательное свойство) — ассоциативность сложения.

3. a·b=b·a (переместительное свойство) — коммутативность умножения.

4. a·(b·c)=(a·b)·c (сочетательное свойство) — ассоциативность умножения.

5. (a+b)·c=a·c+b·c (распределительное свойство) — дистрибутивность умножения относительно сложения.

6. Существует единственное число 0 такое, что a+0=a для любого числа а.

7. Для любого числа а существует такое число -а, что а+(-а)=0.

8. Существует единственное число 10 такое, что для любого числа а имеет место а·1=а.

9. Для любого числа а0 существует такое число a^-1, что а·a^-1=1.

Замечание: Числа -а и а^-1 (противоположное и обратное) единственны.

2. Сравнение вещественных чисел.

Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b, а>b или b>а (равенство или больше).

Отношение = обладает транзитивным свойством: если а=b и b=с, то а=с.

Отношение > обладает следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

10. Если а>b и b>с, то а>с.

11. Если а>b, то а+с>b+с.

12. Если а>0 и b>0, то а·b>0.

Вместо а>b пишут также b<a (меньше).

Запись аb (или, что то же, bа) обозначает, что либо а=b, либо a>b.

Определение 4: Соотношения а<b, аb, a>b, ab называются неравенствами.

Определение 5: Неравенства а<b, a>b называются строгими неравенствами. Неравенства аb, ab называются нестрогими неравенствами.

Определение 6: Число а, удовлетворяющее неравенству а>0, называется положительным, неравенству а<0,— отрицательным, неравенству а≥0,— неотрицательным, неравенству а≤0,— неположительным.

3. Непрерывность вещественных чисел.

13. Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хХ и yY выполняется неравенство ху, то существует хотя бы одно число с, такое, что для любых чисел х и у выполняются неравенства

хсу.

Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество только рациональных чисел.

Из свойств I—III вытекают все остальные свойства вещественных чисел.

Определение 7: Вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.