Раздел 1. Дифференциальное исчисление.

Тема 1. Числа. Функции.

Лекция 1. Действительные числа.

1. Множества.

В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными понятиями являются точка, прямая, плоскость и множество. Для всех остальных понятий будут даны определения.

Под множеством понимают совокупность некоторых элементов.

Определение 1: Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — малыми буквами.

Если х — элемент множества X, то пишут хХ.

Если х не является элементом множества X, то пишут хХ.

Запись Х={х₁, ..., х_n} означает, что множество X состоит из элементов х₁, ..., х_n. Аналогична запись Х={х₁, х₂, х₃, ...}.

Например:

• запись А={0; 1; 25} – означает, что множество А состоит из трёх чисел 0; 1 и 25;

• запись А={х: 1<x<25} – означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено) чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1<x<25;

• запись А={хN| 1<x<25} – означает, что множество А состоит из всех натуральных чисел, удовлетворяющих двойному неравенству 1<x<25.

Множество может задаваться:

• путём перечисления его элементов, обычно перечислением задают конечные множества или списком;

• заданием выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными;

• путём описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.

Пусть X и Y—два множества.

Определение 2: Множество X содержится в Y (или X есть подмножество множества Y), если в X нет элементов, не принадлежащих Y (ХY или YX (X содержится в Y или Y содержит X).

• знак  - строгое включение;

• знак  - нестрогое включение;

Если не оговорено, есть ли во множестве Y, ещё какие-либо элементы, кроме всех элементов множества X, то употребима запись XY; в противном случае, когда оговорено, что во множестве Y есть ещё другие элементы, кроме всех элементов множества X, употребима запись XY.

Определение 3: Множества X и Y совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов (Х=Y). Другими словами: Множества X и Y равны (совпадают), если ХY и YX.

Определение 4: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Пустое множество является подмножеством любого множества: Х.

При работе в конкретной предметной области обычно ограничиваются некоторой совокупностью объектов.

Определение 5: Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют основным, базовым (универсальным, универсумом) множеством и обозначается U. Или другими словами: все в дальнейшем рассматриваемые (в некотором контексте) множества являются его подмножествами. Данное понятие относительное.

Определение 6: Множество с установленным порядком расположения элементов называют упорядоченным.

Упорядоченное множество в отличие от просто множества записывают внутри круглых скобок.

Множества бывают конечными или бесконечными.

Определение 7: Если число элементов множества конечно — множество называется конечным.

Определение 7: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества (численностью, размером, нормой, длиной и др.) и обозначается |А|.

Определение 8: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимнооднозначное соответствие с элементами множества натуральных чисел, то говорят, что множество счётно.