Метод хорд

Методом хорд (його ще називають методом лінійного інтерполювання) нове значення х знаходять як абсцису точки перетину хорди, що проходить через точки (u;f(u)), (v;f(v)), з віссю Ох. При цьому f(u)f(v)<0.

Рівняння згаданої хорди, виходячи з рівняння прямої, що проходить через дві точки, матиме вигляд:

або .

Звідси знаходимо абсцису точки перетину хорди з віссю Ох (рівняння якої у=0), тобто покладаємо у=0 і визначаємо з даного рівняння х:

.

Якщо f(х)f(u)>0, то корінь міститься на проміжку [x;v], тому щойно знайдений х беремо за нове значення лівого кінця проміжку, на якому міститься корінь. Якщо f(х)f(u)<0, то корінь міститься на проміжку [u;х], тому х беремо за нове значення правого кінця проміжку, на якому міститься корінь.

Якщо f(х)=0 або нове значення х практично не відрізняється від попереднього значення х, то можна вважати, що х – наближення кореня х*.

Метод дотичних (Ньютона)

Нехай функція f(x) двічі неперервно диференційована на проміжку [а;b], причому похідні f'(x) і f''(x) не дорівнюють нулеві і зберігають знак на цьому проміжку, а f(а)f(b)<0. При цьому змінна х наближається до кореня лише з одного боку (це стосується і методу січних).

За методом дотичних (методом Ньютона) наближене значення кореня х знаходять як абсцису точки перетину дотичної до кривої у=f(х) в одній з точок (u;f(u)) чи (v;f(v)) з віссю Ох. Оцінку близькості х до кореня х*, як і раніше, можна проводити аналогічно до методу січних.

Першу дотичну треба проводити в тій точці (u;f(u)) чи (v;f(v)), для якої виконується умова: f(u)f''(u)>0 чи f(v)f''(v)>0. Нехай дотична проводиться в точці (u;f(u)). Тоді рівняння дотичної в цій точці матиме вигляд: y–f(u)=f'(u)(х – u). Звідси знаходимо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох:

.

Якщо значення u вважати за початкове (нульове, позначимо його через х₀) наближення до кореня х*, то значення х, знайдене за останньою формулою, вважатимемо новим наближенням (першим, позначимо його х₁). Значення х₁ можна уточнити, а саме: наступне наближення до кореня х* знову визначити як точку перетину дотичної до кривої у=f(x), проведеної в точці (х₁;f(х₁)), з віссю абсцис. Отже, за методом Ньютона кожне наступне наближення до кореня х* знаходять за формулою

, k=0,1,2,…

причому х₀=u, якщо f(u)f''(u)>0, і х₀=v, якщо f(v)f''(v)>0.

Перевагою метода Ньютона є велика швидкість збіжності наближеного значення кореня до істинного. Недоліки - пристосовуваність лише для диференційовних функцій, необхідність задання додаткової функції - похідної від заданої, однобічність наближення коренів.

Завдання до лабораторної роботи. Вказівки до виконання роботи

1. Відокремити корені рівнянь, з вказаного варіанту, аналітично та графічно. Відрізок ізоляції кореня звузити до довжини, яка не перевищує одиниці.

2. Для уточнення коренів рівнянь скласти відповідні програми на одній з мов програмування або скористатися програмою Microsoft Office Excel. При оформленні результатів виконання роботи подати число кроків, значення кореня та значення функції для нього. Додати лістинг програми.

Варіант 1.

1. Відокремити корені рівняння 3x⁴+4x³–12x²–5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння 0,5^x+1=(x–2)²графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–3x²+9x–8=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння x–sinx=0,25 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³+0,2x²+0,5x+0,8=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння x²–2sinx=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 2.

1. Відокремити корені рівняння x⁴–x–1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння x-log₃(x+1)=2 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–6x–8=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння tg(0,58x+0,1)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–3x²+12x–12=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння 3ctgx–x=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 3.

1. Відокремити корені рівняння 3x⁴+8x³+6x²–10=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння cos(x+0,3)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–3x²+6x+3=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння –cos(0,387x)=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–0,2x²+0,3x+1,2=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння tg(0,47x+0,2)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 4.

1. Відокремити корені рівняння x⁴+4x³–8x²–17=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння sin(x–0,5)–x+0,8=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–0,1x²+0,4x–1,5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння tg(0,4x+0,4)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–2x+4=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння x²+4sinx=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 5.

1. Відокремити корені рівняння 3x⁴+4x³–12x²+1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння 4lgx–x+2=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–3x²+9x+2=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–0,2x²+0,5x–1,4=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння 2ctgx–x=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 6.

1. Відокремити корені рівняння 2x⁴–8x³+8x²–1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння 2x+lg(x+1)=1 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³+x–5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння tg(0,5x+0,2)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–3x²+6x–5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння 2x–lgx–7=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 7.

1. Відокремити корені рівняння x⁴–4x³–8x²+1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння cos(x+0,5)=x³ графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³+0,2x²+0,5x–1,2=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння 3x–cosx–1=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–0,1x²+0,4x+1,2=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння tg(0,44x+0,3)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 8.

1. Відокремити корені рівняння 2x³–9x²–60x+1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння 5x+2log₃(x+1)=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³+3x+1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння x+lgx=0,5 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–0,2x²+0,5x–1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння 3x–cosx–1=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 9.

1. Відокремити корені рівняння 3x⁴+4x³–12x²–5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння x²+0,5^x–2=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–3x²+9x–8=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння x–sinx=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³+0,2x²+0,5x+0,8=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння x²–2sinx=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 10.

1. Відокремити корені рівняння x⁴–x³–2x²+3x–3=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння 5sinx=x графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–6x–8=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння tg(0,58x+0,1)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–0,2x²+0,3x+1,2=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 11.

1. Відокремити корені рівняння 3x⁴–8x³–18x²+2=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння 0,5^X–1=x+2 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–3x²+6x+3=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння 2x–cos(0,387x)=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–3x²+12x–12=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння tg(0,47x+0,2)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 12.

1. Відокремити корені рівняння 2x⁴+8x³+8x²–1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння (x–2)=2^x графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–0,1x²+0,4x–1,5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння tg(0,4x+0,4)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–2x+4=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння x²+4sinx=0графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 13.

1. Відокремити корені рівняння 3x⁴+4x³–12x²–5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння x²–20sinx=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³–3x²+9x+2=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–0,2x²+0,5x–1,4=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 14.

1. Відокремити корені рівняння x⁴–x–1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння x²–3+0,5^x=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³+x–5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння tg(0,5x+0,2)=x² графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–3x²+6x–5=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння 2x–lgx–7=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 15.

1. Відокремити корені рівняння x⁴–4x³–8x²+1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння 5sinx=x–1 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³+0,2x²+0,5x–1,2=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння 3x–cosx–1=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–0,1x²+0,4x+1,2 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння tg(0,44x+0,3)=x² графічно і уточнити точністю до 0,0005 методом дотичних.

Варіант 16.

1. Відокремити корені рівняння 2x⁴–x²–10=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом поділу проміжку пополам.

2. Відокремити корені рівняння x²+lgx=0,5 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом поділу проміжку пополам.

3. Відокремити корені рівняння x³+3x+1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом хорд.

4. Відокремити корені рівняння x+lgx=0,5 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом хорд.

5. Відокремити корені рівняння x³–0,2x²+0,5x–1=0 аналітично і уточнити їх з точністю до 0,0001 методом дотичних.

6. Відокремити корені рівняння 3x–cosx–1=0 графічно і уточнити їх з точністю до 0,0005 методом дотичних.