ЛАБОРАТОРНЕ ЗАНЯТТЯ №1

«Наближене розв’язування рівнянь»

Дослідження рівняння. Відокремлення коренів

Нехай задано неперервну функцію f(х) і потрібно знайти деякі або всі корені рівняння f(x)=0.

Здебільшого, як відомо, корені рівняння можна знайти лише наближено. Для знаходження наближених значень коренів даного рівняння з потрібною точністю доводиться розв'язувати такі задачі:

1. досліджувати кількість коренів та їх розміщення;

2. знаходити наближені значення коренів;

3. обчислювати потрібні корені з необхідною точністю.

Перші дві задачі, які ще інколи в поєднанні називають задачею відокремлення коренів, розв'язують аналітичними і графічними методами. Для відокремлення коренів іноді вдається використати властивості функції f(x), її графік тощо.

В аналітичному методі, наприклад, складають таблицю значень функції f(x), і якщо в двох сусідніх вузлах таблиці функція має різні знаки, то між ними лежить принаймні один корінь. Але якщо функція визначена на дуже великому проміжку (або навіть на всій числовій осі) і не відомо скільки коренів вона має, то метод табулювання функції буде малоефективним при відокремленні коренів.

Якщо функція f(x) диференційована на області визначення, то шукають критичні точки і обчислюють знак функції в цих точках та на + і –. Якщо в сусідніх точках значення функції мають різні знаки, то на цьому інтервалі вона матиме лише один корінь, а якщо значення однакові, то на відповідному інтервалі коренів функція немає. Інтервали при цьому можуть бути дуже великими (в тому числі один з кінців може бути у нескінченності). Тоді звужують інтервал. Беруть довільну точку з середини інтервалу, обчислюють знак функції в цій точці і замінюють на дану точку той з кінців інтервалу де функція має той же знак.

Розглянемо графічний метод. Для наближеного розв’язання рівняння f(х)=0 будують графік функції у=f(х). Абсциси точок перетину цього графіка з віссю абсцис і є коренями рівняння f(х)=0. Оскільки практично графік функції у=f(х) точно побудувати неможливо, то цим методом можна визначити лише наближені значення коренів рівняння f(х)=0.

У деяких випадках рівняння f(x)=0 зручно подати у вигляді f₁(x)=f₂(х), а потім побудувати графіки двох функцій: y=f₁(x) i y=f₂(х). Коренями рівняння f(х)=0 є абсциси точок перетину графіків функцій y=f₁(x) i y=f₂(х).

Графічний метод не дає можливості знайти корінь рівняння з наперед заданою точністю, і тому найчастіше його використовують для знаходження початкового, наближеного розв’язку та для визначення меж, в яких міститься розв’язок.

Наближені значення кореня уточнюють різними ітераційними методами.

Метод поділу проміжку пополам

Нехай на проміжку [а;b] функція f(х) неперервна і набуває на кінцях проміжку значень різних знаків, тобто f(а)f(b)<0. Це означає, що на [а;b] рівняння має принаймні один корінь. Цей корінь можна визначити з наперед заданою точністю методом поділу проміжку пополам.

Суть методу полягає в тому, що проміжок, на якому міститься корінь, поступово звужують, зменшуючи його щоразу вдвоє, поки не досягнуть потрібної точності визначення кореня.

Позначимо лівий кінець проміжку, на якому міститься корінь, буквою u, правий – буквою v і знайдемо середину цього проміжку: . Оскільки (за умовою ) f(u)f(v)<0, то f(х)f(а)>0 або f(х)f(а)<0, або f(х) = 0. Якщо f(х) = 0, то корінь х*=х. Зрозуміло, що у випадку f(х)f(а)>0 корінь міститься на проміжку [x, v]. У випадку f(х)f(а)<0 корінь міститься на проміжку [u, х]. Якщо довжина проміжку, на якому міститься корінь, не перевищує заданої величини , то це означає, що х* знайдено з точністю до . Якщо заданої точності ще не досягнуто, то, позначивши х через u у випадку f(х)f(а)>0 або через v у випадку f(х)f(а)<0, знову знаходимо середину проміжку [u;v] і повторюємо обчислення.