7. Лекальные кривые

7.1 Овал

Овал – плоская, выпуклая, плавная кривая, состоящая из взаимно сопрягающихся дуг окружностей различных радиусов.

Выпуклый, имеющий две оси симметрии четырехцентровый овал определяют три параметра. Исходя из условий, конструктор задает длину и ширину овала и один из радиусов или оба радиуса и ширину или длину. Иногда задают только ширину и длину овала, определяя тем или иным способом радиусы сопрягающихся дуг окружностей (рис.9). Такая задача имеет бесчисленное множество решений. Ниже приведены два способа построения овала по длине и ширине (осям).

Построение овала при отношении осей АВ = CD 3 (рис.10а).

• Из центра О пересечения осей овала радиусом ОА провести дугу до пересечения с продолжением малой оси CD и отметить точки О3, О4.

• Аналогично радиусом ОС описать дугу до пересечения с большой осью в точках О1, О2.

• Провести лучи через полученные центры О1,… О4.

• Провести дуги сопряжения радиусами R = О3C, r = О1 A до пересечения с лучами в точках 1, 2, 3,4.

Построение овала по двум осям (рис.10б)

Для нахождения центров необходимо О1О3 :

• Отложить на малой оси отрезок ОО4 = ОА

• Провести прямую АС и отложить на ней от точки С отрезок СЕ =СО4.

• Восстановить срединный перпендикуляр к отрезку АЕ.

• На пересечении перпендикуляра с заданными осями овала отметить положение центров О1О3.

• Из центров О1О3 провести дуги радиусами R и r до пересечения с лучами О1О3 и О2О3, О1О4 и О2О4 в точках 1,2,3,4

Очертание любого циркульного овала не совпадает с очертанием эллипса, но в той или иной степени приближается к нему.

Рис.10

7.2 Эвольвенты (развертки) окружности (рис.11а)

Исходную окружность делим на произвольное число равных частей, например 12. В точках деления проводим полукасательные к окружности и на последней полукасательной откладываем отрезок, равный длине окружности (2ПR), и делим отрезок на 12 частей. На 11-й полукасательной откладываем 11 частей отрезка, на 10-й-10 и т.д.

Через полученные точки с помощью лекала проводим плавную кривую.

Чтобы построить касательную к эвольвенте в заданной точке М, через эту точку проводят касательную к исходной окружности, которая будет являться нормалью в точке М.

7.3 Спирали Архимеда (рис.11б)

Спираль Архимеда – траектория движения точки, равномерно движущейся от центра окружности по радиусу, вращающемуся с равномерной скоростью.

Для построения спирали Архимеда исходную окружность и ее радиус делим на одинаковое число частей (на рис.6 n=8). Через точки деления на окружности проводим из центра О лучи, последовательно откладывая на каждом из них соответствующее число делений радиуса: на первом ОА=1/8R, на втором ОВ=2/8R и т.д. Полученный ряд точек А,В,С… соединяем плавной

к ривой.

Рис.11

7 .4 Циклоиды (рис.11,а)

Циклоидой называют траекторию движения точки окружности, перекатываемой по прямой без проскальзывания.

Для построения циклоиды необходимо от начальной точки А провести отрезок АА1= 2ПR, где R – радиус заданной окружности. Разделить отрезок АА1 и окружность на одинаковое число частей (n = 8). Через точки деления окружности 1,2,3,… провести прямые, параллельные отрезку АА1, а через точки деления от- Рис.11

резка АА1 – перпендикуляры, которые при пересечении с осевой линией, продолженной из центра начальной окружности, определят ряд последовательно расположенных центров О1,О2,…перекатываемой окружности. Описывая из этих центров дуги радиусом R, последовательно отметим точки их пересечения с соответствующими прямыми, параллельными АА1, как точки, принадлежащие циклоиде.

Для построения касательной в произвольной точке М циклоиды определяем положение перекатываемой окружности, когда она проходит через эту точку. Отмечаем положение центра Ом и проводим через него диаметр NN1. Отрезок МN определит нормаль, МN1- касательную (рис.11б).

Точка окружности, перекатывающейся по внешней стороне направляющей окружности, опишет эпициклоиду, по внутренней стороне – гипоциклоиду. Способы их построения такие же, как и для циклоиды, только длину перекатываемой окружности откладывают по направляющей окружности.

Построение синусоиды по заданному диаметру начальной окружности.

Выбрать начало координат для построения синусоиды, совпадающим с точкой А на окружности, заданного радиуса R и на продолжении оси ОА отложить отрезок АА1= 2ПR. Разделить окружность и отрезок АА1 на одинаковое число частей и пронумеровать точки деления. Через точки деления провести ряд прямых, параллельных АА1; из точек деления прямой АА1 восстановить перпендикуляры. На пересечении этих вспомогательных прямых, имеющих одноименные номера, отметить точки синусоиды.

7.5 Построение эллипса по двум его осям (рис.12)

На заданных осях эллипса – большой АВ и малой СD – построить как на диаметрах две концентрических окружности. Одну из окружностей разделить на несколько частей и через точки деления и центр О провести радиусы до пересечения с большой окружностью.

Через точки 1, 2,… деления большой окружности провести прямые, параллельные малой оси СD, а через точки 11, 21,… деления малой окружности - прямые, параллельные большой оси эллипса АВ. Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат эллипсу. Полученные точки, включая точки на большой и малой осях, последовательно соединить при помощи лекала плавной кривой

Р ис.12