Раздел 6. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
Возрастание и убывание функции в точке. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля о нуле производной. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Следствия из формулы Лагранжа. Условия постоянства, монотонности функции на интервале. О точках разрыва производной. Теорема Коши. Первое правило Лопиталя. Второе правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей других типов.
[1] Гл.8, §7 – 12
Контрольные вопросы и задания
Дайте определение ограниченной сверху (снизу) на множестве X функции.
Сформулируйте теорему о локальной ограниченности непрерывной функции.
Сформулируйте теорему об устойчивости знака непрерывной функции.
Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.
Справедливо ли утверждение: непрерывная на интервале функция ограничена на этом интервале?
Справедливо ли утверждение: ограниченная сверху (снизу) на множестве X функция имеет на этом множестве точную верхнюю (нижнюю) грань?
Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.
Справедливо ли утверждение: непрерывная и ограниченная на интервале функция достигает на этом интервале своих точных граней?
Дайте определение возрастания (убывания) функции в точке.
Сформулируйте достаточное условие возрастания функции в точке.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие монотонности дифференцируемой функции на промежутке.
Сформулируйте достаточное условие строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке.
Сформулируйте теорему Ролля.
Сформулируйте теорему Лагранжа.
Сформулируйте теорему Коши
Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределённости типа: а)
при
;
б)
при
.
Раздел 7. Формула Тейлора и Маклорена.
Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. Различные формы остаточного члена. Остаточный член в форме Пеано. Формула Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
[1] Гл. 8, §13 – 15
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом: а) в форме Пеано; б) в общей форме.
Выведите из общей формы остаточного члена формы Лагранжа и Коши.
Напишите формулу Маклорена для функции и остаточные члены этой формулы в формах Пеано, Лагранжа и Коши.
Напишите разложения по формуле Маклорена функций
и остаточные члены этой формулы в формах
Пеано, Лагранжа и Коши.
Раздел 8. Графики функций.
Стационарные точки. Достаточные условия экстремума. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба. Асимптоты графика функции. Необходимое и достаточное условие существования асимптот. Схема исследования графика функции. Отыскание максимального и минимального значений функции. Краевой экстремум. Теорема Дарбу.
[1] Гл. 9, §1 – 7
Контрольные вопросы и задания
Дайте определение локального экстремума функции.
Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие экстремума. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
Сформулируйте достаточные условия экстремума функции.
Дайте определение направления выпуклости графика функции.
Дайте определение точки перегиба графика функции.
Сформулируйте необходимое условие перегиба графика функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
Сформулируйте достаточное условие перегиба графика функции.
Дайте определение и приведите пример вертикальной асимптоты графика функции.
Дайте определение и приведите пример наклонной асимптоты графика функции при
.
Сформулируйте необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты графика функции.
Учебная литература (обязательная)
|
|
|
1. |
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Ч. 1, М.: Физматлит, 2001. |
|
2. |
В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Математический анализ. Ч. 1, М.: МГУ, 2007. |
|
|
|
|