Раздел 3. Функции одной переменной, предел функции.
Понятие
функции. Предел функции в точке по Гейне
и по Коши. Левый и правый пределы. Критерий
Коши существования предела функции.
Арифметические операции над функциями,
имеющими предельное значение. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции.
Сравнение бесконечно малых функций.
Символ
малое.
[1] Гл. 4, §1 – 3; гл. 8, §1
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте два определения предела функции в точке. Докажите их эквивалентность.
Сформулируйте два определения односторонних пределов функции в точке.
Существуют ли
,
если
?
Существует ли
?Сформулируйте два определения предела функции при
.Дайте определение бесконечно малой функции: а) при
;
б)
при
.
Приведите примеры таких функций.Сформулируйте определение и приведете примеры бесконечно малой функции
:
а)
одного
порядка с функцией
в
точке а;
б)
эквивалентной
функции
в
точке а;
в)
более
высокого порядка при
,
чем
.
Раздел 4. Непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Теоремы о строго монотонных функциях. Непрерывность элементарных функций. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Точки разрыва функции и их классификация. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса.
[1] Гл. 4, §3 – 6, 8
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте определения: а) непрерывности функции в точке; б) непрерывности функции справа (слева) в точке.
Сформулируйте необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке.
Докажите, что функция
непрерывна
в любой точке а.Какие точки называются точками разрыва функции?
Дайте определения точки устранимого разрыва и точек разрыва I и II рода.
Укажите тип точки разрыва функции
:
а)
;
б)
.
Раздел 5. Производная и дифференциал функции.
Определение производной, её геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Дифференцируемость функции. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции. Производные элементарных функций. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила вычисления дифференциалов. Применение дифференциала для приближённых вычислений. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Производная векторной функции.
[1] Гл. 5, §1 – 8
Контрольные вопросы и задания
Что называется приращением функции
в точке
?Дайте определение производной функции в точке .
Пользуясь определением производной, выведите формулы для производных функций
.Какой физический смысл производной функции в точке ?
Какой геометрический смысл производной функции в точке ? Дайте определение касательной к графику функции в точке
и запишите уравнение касательной.Выведите формулы для производных суммы, разности, произведения и частного двух функций. Используя их, выведите формулы для производных функций
.Сформулируйте теорему о производной обратной функции. Выведите формулы для производных обратных тригонометрических функций.
Сформулируйте теорему о производной сложной функции. Применима ли эта теорема к функции
в точке
?Дайте определение дифференцируемости функции в данной точке.
Докажите теорему о связи между дифференцируемостью функции в точке и существованием в этой точке производной.
Что такое дифференциал функции в данной точке? От какого аргумента он зависит? Какой геометрический смысл дифференциала?
Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала? Докажите, что форма первого дифференциала инвариантна.
Как можно использовать дифференциал для приближённых вычислений?
Дайте определение второй производной функции в точке . Дайте определение n-й производной функции в точке .
Выведите формулу Лейбница.
Выведите формулы для n-х производных функций
.Дайте определение дифференциала n-го порядка функции в точке .