Упражнения.

№ 1. Установите, какие из следующих предложений являются высказываниями: а) 3+2 = 5; б) 3<2; в) 32; г) у²0; д) «Число слов в этом предложении равно семи»; е) «Осень — лучшая пора года»; ж) «Знаете ли вы украинскую ночь?»; з) «В четырехугольнике противоположные стороны равны»; и) «Во всяком четырехугольнике противоположные стороны равны»; к) «В некоторых четырехугольниках противоположные стороны равны»; л) «Существует число х такое, что х²<0»; м) «В городе N более 100 000 жителей»; н) «Существует наибольшее натуральное число»; 0) H₂O+SO₃=H₂S0₄; п) снег белый; р) белый снег.

№2. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; ука­жите значения истинности данных высказываний и их отрицаний: а) «Луна — спутник Марса»; б) «32 не делится на 4»; в) 5>2; г) 35; д) «Все простые числа нечетны».

№3. Определите значения истинности следующих высказываний: а) «Париж расположен на Сене и 2+3 = 5»; б) «1 — простое , число и 2 — простое число»; в) «1 — простое число или 2 — простое число»; г) «Число 2 — четное или это число — простое»; д) 23, 23, 2·2<4, 2·2>4; е) «2·2=4 или белые медведи живут в Африке»; ж) 2·2 = 4, и 2·25, и 2·24.

№ 4. Определите значения истинности высказываний А, В, С и D если: а) А (2·2 = 4) — истинное высказывание; б) В (2·2 = 4) — ложное высказывание; в) C(2·2 =5) — истинное высказывание; г) D  (2·2=5) —ложное высказывание.

№5. Пусть p₁ и р₂ — два данных высказывания. С помощью операций отрицания и конъюнкции построить из p₁ и р₂ такое сложное высказывание р, что

а) р истинно тогда и только тогда, когда p₁ и р₂ оба истинны;

б) р истинно тогда и только тогда, когда р₁ истинно, a р₂ ложно;

в) р истинно тогда и только тогда, когда p₁ и р₂ оба ложны;

г) р ложно тогда и только тогда, когда p₁ и р₂ оба истинны.

№6. Пусть p₁ и р₂ — два данных высказывания. С помощью операции отрицания и импликации построить из p₁ и р₂ такое сложное высказывание р, что

а) р ложно тогда и только тогда, когда p₁ и р₂ оба истинны;

б) р ложно тогда и только тогда, когда p₁ истинно, а р₂ ложно;

в) р ложно тогда и только тогда, когда p₁ ложно, а р₂ истинно;

г) р истинно тогда и только тогда, когда p₁ ложно, а р₂ истинно.

№ 7. Прочтите следующие символические выражения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

№8. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В— высказывание «10 делится на 3». Определите значения истинности следующих высказываний! а) АВ; б) ВА; в) В; г) А;_д)  ; е) ; ж) А ; з) В ; и) АВ; к)  л)  В; и) А .

№ 9. Найдется ли такой день недели, когда: а) утверждение «Если сегодня понедельник, то завтра пятница» истинно; б) ут­верждение «Если сегодня понедельник, то завтра вторник» ложно?

№ 10. Определите значения истинности следующих высказываний: а) «Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3»; 6) «Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3»; в) «Если 15 делится на 6, то 15 делится на 3»; г) «Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6»; д) «Если Париж расположен на Темзе, то белые медведи обитают в Африке»;

е) «12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3»;

ж) «11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3»;

з) «15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3»;

и) «15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4»; к)«Солнце всходит на востоке тогда и только тогда, когда оно заходит на западе».

№11. Определите значения истинности высказываний А, В, С, D в следующих предложениях, первые два из которых истинны, а по­следние два – ложны: а) А(2<3); б) В (2>3); в) С (2< 3); г) D (2>3).

№ 12. Для следующих формул найти более простые равносильные формулы:

а) ;

б) ;

в) .

№13. Четыре студентки — Мария, Нина, Ольга и Полина — участвовали в соревновании и заняли четыре призовых места. Когда стали узнавать, как распределились места, получили три разных ответа:

1. Ольга первая, Нина вторая;

2. Ольга вторая, Полина третья;

3. Мария вторая, Полина четвертая.

В каждом ответе, по крайней мере, одна часть верна. Определить правильное распределение мест.