4.2. Необходимое и достаточное условия.

Уточним смысл часто применяющихся в математике выражений «необходимое условие», «достаточное условие» и состав­ленные из них «необходимое и достаточное условие», «не­обходимое, но недостаточное условие», «достаточное, но не необходимое условие».

Рассмотрим несколько примеров.

1) Говорят, что пропорциональность сторон — необхо­димое условие подобия двух треугольников. Это надо по­нимать так: если это условие не выполняется, т. е. сто­роны не пропорциональны, то треугольники не будут по­добными. Иначе говоря, если ложно высказывание А: «сто­роны треугольников пропорциональны», или истинно его отрицание , то ложно и высказывание В: «треугольники подобны», или истинно его отрицание , т. е. истинно высказывание

(1)

или равносильное ему высказывание

ВА. (2)

2) Говорят также, что пропорциональность сторон - достаточное условие подобия двух треугольников. Это надо понимать так: если это условие выполняется, то треугольники подобны, т. е. если истинно высказывание А: «стороны треугольников пропорциональны», то истинно и высказывание В: «треугольники подобны». Иначе говоря, это означает, что истинно высказывание

АВ. (3)

3) Из предыдущего следует, что пропорциональность сторон — необходимое и достаточное условие подобия двух треугольников, а это означает, что истинно высказывание или равносильное высказывание Но высказывание равносильно эквиваленции АВ. Следовательно, выражение «А необ­ходимое и достаточное условие для В» имеет тот же смысл, что «А если и только если В»; или «А тогда и только тогда, когда В».

4) Говорят, что пропорциональность сторон — необходимое, но недостаточное условие подобия многоугольников. Это означает, что если стороны непропорциональны, то многоугольники неподобны, но неверно, что если стороны пропорциональны, то многоугольники подобны (квадрат и непрямоугольный ромб неподобны, хотя стороны их пропорциональны).

5) Говорят, что правильность многоугольника — достаточное, но необходимое условие, для того чтобы около него можно было описать окружность. Это означает, что если многоугольник — правильный, то около него можно описать окружность, но неверно, что если он неправильный, то около него нельзя описать окружность (существуют и неправильные многоугольники, около которых можно описать окружность).

Необходимое и достаточное условие в математике час­то называют признаком.

Признак обычно формулируется с помощью слов «необ­ходимо и достаточно», или в виде эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух им­пликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, до­казывающую необходимость признака, другая выражает теорему, доказывающую достаточность признака.

Например, признак перпендикулярности двух плоскос­тей: «Для того чтобы две плоскости были перпендикуляр­ными, необходимо и достаточно, чтобы одна из них про­ходила через прямую, перпендикулярную другой» может быть сформулирован и так: «Две плоскости перпендику­лярны, если и только если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой», т. е. в виде эквиваленции

Но эта эквиваленция равносильна конъюнкции двух импликаций:

,

первая из которых выражает теорему, доказывающую не­обходимость признака, вторая — теорему, доказывающую его достаточность.