Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
логика.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
292.43 Кб
Скачать

Упражнения.

№ 1. Доказать основные свойства отношения включения:

Х X;

(XY) ( Y  X)  X=Y;

(XY) ( Y Z)  XZ.

№ 2. Доказать следующие свойства пустого множества:

 X; Х Х=, где Х – произвольное множество.

№ 3. Показать, что для любого натурального n имеет место эквивалентность:

Х1Х2 . . . XnX1X1=X2= . . . =Хn.

№ 4. Пусть k и n — натуральные числа и kn. Сколько различных подмножеств из k элементов содержит множество из n элементов? Сколько различных подмножеств содержит множество из n элементов?

№ 5. Используя результаты предыдущей задачи решить следующие:

1. Пусть М — некоторое множество n точек пространства. Сколько можно построить ломаных линий, вершинами которых являются какие-либо k точек из М и только точки из М?

2. Сколько всего ломаных линий, верщины которых суть точки множества М?

№ 6. Опишите каждое из следующих множеств, используя подходящее свойство:

а) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10};

б) {3, 6, 9, 12, 15};

в) {4, 9, 16, 25};

г) {10, 12, 14, 16}

№ 7. Пусть R— числовая прямая; изобразить на ней следующие множества:

а) 3<x<4;

б) х2—5х+6<0;

в) |х|<2.

№ 8. Доказать следующие формулы, выражающие отношение включения через операции объединения и пересечения.

а) XYXY=Y;

б) XYXY=X.

№ 9. Доказать следующие свойства пустого множества:

а) X=X;

б) Х = .

№ 10. Найти:

а) {а, b, с}{а, с, d, f };

б) {а, b, с}{b, с};

в) {а, b, с, d)\{a, f, g, k}

Обозначенные различными буквами элементы различны.

№ 11. Пусть N1 = { 1, 3,7}; N2 = { 0, 1, 3, 4, 8 } . Из каких элементов состоят множества:

а) N1N2 и N2 N1;

б) (N1N2) ( N2 N1) и ( N2 N1) (N1N2);

№ 12. Пусть даны множества А, В, С и , , - дополнения соответствующих множеств А, В, С до универсального множества U. Изобразите при помощи кругов Эйлера следующие множества (АВ С=):

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) ;

№ 13. Используя круги Эйлера, докажите следующие равенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

2. Логика высказываний

2.1. Понятие высказывания

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания».

Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь». Примерами высказываний являются следующие предложения:

Новгород стоит на Волхове.

Париж – столица Англии.

Карась не рыба.

Число 6 делится на 2 и на 3.

Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а 2) и 3) – ложны.

Не всякое предложение является высказыванием. Так, к высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла. Не являются высказываниями и такие предложения: «Каша — вкус­ное блюдо», «Математика — интересный предмет»; нет и не может быть единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны. Предложение «Существуют инопланетные цивилизации» следует считать высказыва­нием, так как объективно оно либо истинное, либо лож­ное, хотя никто пока не знает, какое именно. Предложе­ния «Шел снег», «Площадь комнаты равна 20 м2», а2 =4 не являются высказываниями; для того чтобы име­ло смысл говорить об их истинности или ложности, нуж­ны дополнительные сведения: когда и где шел снег, о какой конкретной комнате идет речь, какое число обо­значено буквой а.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Изучением высказываний занимается специальная математическая дисциплина – математическая логика, точнее, тот раздел этой науки, который называется логикой высказываний.

Логика высказываний не занимается обоснованием того, почему тому или иному элементарному высказыванию приписано значение истины, а не лжи или, наоборот, лжи, а не истины.