Лабораторная работа № 1: методы оценки погрешностей

Продолжительность: 4 часа.

Цель:

Научиться округлять десятичные числа по заданному значению абсолютной погрешности.
Научиться определять количество верных цифр по относительной погрешности приближенного числа.
Научиться реализовать приближенные вычисления по заданной формуле на ПК.

Результат обучения:

После успешного завершения занятия пользователь должен:

Знать понятие погрешности.
Знать методы оценки погрешностей.
Реализовывать методы оценки погрешностей на ПК.

Используемые программы:

Табличный процессор MS Excel.
Математический пакет MathCAD.

План занятия:

Работа под руководством преподавателя: разбор методов оценки погрешностей.
Самостоятельная работа: решение контрольного задания в ТП MS Excel, в МП MathCAD.

1.1 Краткие теоретические сведения

1.1.1 Понятие погрешности

Пусть – точное значение некоторой величины, а – наиболее лучшее из известных приближений.

Название	Обозначение	Вычисление
Абсолютная погрешность
Предельная абсолютная погрешность
Предельная относительная погрешность
Погрешность округления		^¹

1.1.2 Правильная запись числа

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные.

Определение	Пример
Цифра числа называется верной (в широком смысле), если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.	Дано:	, .
	Вывод:	в числе верны цифры 2, 9, 1.
Значащими цифрами числа являются все цифры в его правильной записи, начиная с первой ненулевой слева.	Дано:	; .
	Вывод:	в числе 6, а в числе – 5 значащих цифр.
Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.	Дано:	, .
	Вывод:	в числе все цифры верны в строгом смысле.

1.1.3 Способы приближенных вычислений по заданной формуле

Наиболее распространённым видом вычислений является вычисление по готовой формуле. Чаще всего вычислитель анализирует результат в конце счёта. Если же условия задачи заставляют вести кооперационный учёт движения погрешности, то используется один из следующих способов приближённых вычислений.

Название	Правила
Правила подсчета цифр	Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков или значащих цифр, чем другие, их предварительно следует округлить, сохраняя только одну лишнюю цифру. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр. В значениях элементарных функций от приближенных значений аргумента в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет значение аргумента. Во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила; в окончательном результате эта «запасная цифра» отбрасывается.
Систематический учет погрешностей	Вычисления выполняются пошагово в предположении, что у исходных данных все цифры верны в строгом смысле, и со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей по формулам: если , то ; если , то ; если , то ; если , то ; если – дифференцируемая элементарная функция, то . Значения погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр.
Метод границ	Для функции из аргументов и необходимо вычислить , где и – приближённые значения аргументов, причём совершенно точно известно, что , ,^² тогда , если возрастает по и , и , если возрастает по и убывает по . В частности, если , то ; , то ; , то ; , то . При выполнении промежуточных вычислений и округлении результатов используются все рекомендации правил подсчета цифр с одним важным дополнением: округление нижних границ ведется по недостатку, а верхних – по избытку.