4. Аналітична геометрія на площині

4. 4.1. Довжина відрізку та ділення відрізку у даному відношенні.

Відстань між точками. Відстань між двома точками та дорівнює кореню квадратному зі суми квадратів різниць однойменних координат цих точок:

(4.1)

приклад. Задані точки А(8,0;2,5) та В(8,9;2,1). Знайти відстань між двома точками А та В.

Підставивши координати точок у формулу (4.1), маємо:

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2], №4, 18, 19.

Ділення відрізку в заданому відношенню

Розглянемо відрізок ав, заданий координатами точок та . Точка поділяє відрізок ав у відношенні: (рис. 1).

Рисунок 1 – Ділення відрізку

Координати точки с визначаються формулами:

(4.2)

Коли , тобто точка С поділяє відрізок АВ пополам, то формули приймають вигляд:

(4.3)

приклад. Знайти координати точки С, яка поділяє відрізок АВ пополам.

Розв’язок. Координати точки С визначаємо за формулами (4.3)

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2], №28, 29.

4.2. Рівняння прямої на площині

Рівняння прямої в прямокутній системі координат є рівняння першої степені відносно змінних х та у. Рівняння прямої на площині задається в одному з таких видів.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та заданим відрізком на осі ОУ:

(4.4)

де k – кутовий коефіцієнт прямої. Він характеризує напрямок прямої та дорівнює тангенсу кута нахилу прямої від додатного напрямку осі ОХ;

b –довжина відрізку, який відтинає пряма на осі ОУ.

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки та :

. (4.5)

Приклад. Трикутник заданий своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3). Знайти рівняння сторін АС та ВС.

Розв’язок.

Рівняння сторін АС та ВС знаходимо, як рівняння прямих, які проходить через дві задані точки (4.5).

Рівняння сторони АС:

Підставляємо координати та отримаємо: або .

Відповідно рівняння сторони Вс: або ; .

Рівняння прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі:

(4.6)

де k – кутовий коефіцієнт прямої

Рівняння прямої в відрізках на осях:

(4.7)

де a – величина відрізку, що відтинає пряма на осі ОХ.,

b – величина відрізку, що відтинає пряма на осі ОУ.

Загальне рівняння прямої:

. (4.8)

Нормальне рівняння прямої:

(4.9)

де p – довжина перпендикуляру з початку координат на пряму,

– кут між додатним напрямком осі ОХ та перпендикуляром . Будь яке рівняння прямої виду можна привести до нормального виду, для чого його треба помножити на нормуючий множник:

(4.10)

Нормуючий множник повинен мати знак, протилежний знаку вільного члена С даного рівняння.

Відстань від точки до прямої заданої нормальним рівнянням дорівнює:

(4.11)

Якщо пряма задана загальним рівнянням (4.8), то відстань від точки до прямої дорівнює:

. (4.12)

Приклад. Для трикутника АВС, заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3), знайти довжину перпендикуляру BF.

Розв’язок. Знайдемо довжину перпендикуляру BF як відстань між точкою В та стороною АС.

Приводимо рівняння сторони АС до загального виду

, , .

Знаходимо довжину перпендикуляру BF за формулою (12):

Кут між прямими.

Кутом між прямими. називається кут, на який треба повернути навколо точки їх перетину проти ходу годинникової стрілки до збігу її з . Для прямих, які задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом та , кут між ними визначається за формулою:

(4.13)

Для паралельних прямих:

(4.14)

Для перпендикулярних прямих:

(15)

Приклад. Знайти кут між сторонами АС та ВС трикутника АВС, заданого своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язок . Приводимо загальне рівняння сторони АС до виду рівняння з кутовим коефіцієнтом (4.4): , , для рівняння сторони АС кутовий коефіцієнт .

Приводимо загальне рівняння сторони ВС до виду рівняння з кутовим коефіцієнтом

, , .

Для рівняння сторони ВС кутовий коефіцієнт .

Для визначення кута між сторонами АС та ВС трикутника АВС використаємо формулу (4.13):

, .

Приклад. Знайти рівняння висоти BF трикутника АВС заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язок.

Висота BF трикутника АВС перпендикулярна до сторони АС, та проходить через точку В. Це відповідає рівнянню прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі З умов перпендикулярності двох прямих (4.15) знаходимо кутовий коефіцієнт прямої BF. Кутовий коефіцієнт АС . Кутовий коефіцієнт прямої BF

Рівняння висоти BF трикутника АВС :

Приклад. Знайти точку перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС, заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язок.

Точка , точка перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС, находиться як розв’язок системи рівнянь прямих: медіани АD та висоти BF. Рівняння висоти BF трикутника АВС

знаходимо координати точки D за формулами (4.3):

Рівняння медіани АD находимо як рівняння прямої, яка проходить через дві точки А та D

; ,

або

Знаходимо точку перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС:

; .

Розв’язуємо систему рівнянь за формулами Крамера. Визначник системи рівнянь .

Визначник , .

Визначник , .

Відповідь: точка перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС точка .

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2], № 95, 96, 133, 134.