Лабораторна робота № 6

На основі даних у наведеній нижче таблиці по десятьох промислових підприємствах, де — обсяг випущеної продукції (тис. гр. од.), — собівартість випущеної продукції (тис. гр. од.):

	95	143	129	71	87	120	77	117	135	111
	85	163	137	87	100	150	95	117	139	113

1. Побудувати кореляційне поле.

2. Знайти коефіцієнт кореляції.

3. Оцінити коефіцієнти лінійної регресії методом найменших квадратів.

4. Перевірити статистичну значимість оцінок теоретичних коефіцієнтів при рівні значущості .

5. Розрахувати 95 % довірчі інтервали для теоретичних коефіцієнтів регресії.

6. Перевірити модель на адекватність.

7. Спрогнозувати значення результативної змінної при .

8. Дати економічну інтерпретацію отриманих результатів.

Розв’язування. Введемо початкові дані задачі у електронну таблицю.

Рис. 34. Початкові дані задачі

1. Для побудови кореляційного поля скористаємось майстром діаграм, натиснувши кнопку на панелі інструментів. Після запуску майстра з’являється вікно типу діаграми, в якому обираємо XY Scatter (Точечная):

Рис. 35. Діалогове вікно майстра діаграм

У полі Data Range вводимо діапазон значень факторної та результативної змінних:

Рис. 36. Побудова кореляційного поля

2. Коефіцієнт кореляції між факторами X та Y знаходимо за допомогою функції CORREL: в полі Array 1 та Array 2 виділяємо масиви значень X та Y відповідно.

Рис. 37. Діалогове вікно функції CORREL

Отримаємо:

Коефіцієнт кореляції

0,906096692

3. Для побудови та дослідження рівняння регресії використаємо модуль Regressіon. Для цього обираємо Tools/Data Analysіs/Regressіon

Рис. 38. Діалогове вікно інструмента „регресія”

Основними елементами діалогового вікна будуть:

• Іnput Y Range — діапазон значень результативної ознаки;

• Іnput X Range — діапазон значень факторної ознаки;

• Labels — виводити мітки (якщо діапазон значень факторної та результативної ознак містить їх назви);

• Constant is Zero — зсув ;

• Confidence Level — рівень надійності ;

• Output Range — адреса клітинки для виводу результату.

Рис. 39. Діалогове вікно інструмента регресія

Результатом буде:

SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R	0,9060	— множинний коефіцієнт кореляції
R Square	0,821	— коефіцієнт детермінації
Adjusted R Square	0,798	— скоригований коефіцієнт детермінації
Standard Error	12,313	— середньоквадратична похибка оцінок
Observations	10	— кількість спостережень
ANOVA
	df	SS	MS	F	Significance F
Regression	1	5563,500	5563,5004	36,69553	0,00030
Residual	8	1212,899	151,61245
Total	9	6776,4
	Coefficients	Standard Error	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	Lower 95,0%	Upper 95,0%
Intercept	10,129	18,3247	0,5527621	0,59552	-32,1277	52,3862	-32,1277	52,3862
X	0,999	0,16503	6,0576842	0,00030	0,619158	1,38030	0,619158	1,38030

Отже, лінійне рівняння регресії має вигляд .

4. Перевірка статистичної значимості оцінок теоретичних коефіцієнтів при рівні значущості здійснюється за допомогою розподілу Стьюдента. Для цього співставляють фактичні значення статистик з їх табличним значенням . Фактичні значення статистик розраховуються за формулою:

де — значення і–го коефіцієнта рівняння регресії,

— стандартна помилка для і–го коефіцієнта рівняння регресії.

Висновок про значущість або незначущість кожного з коефіцієнтів робиться на основі співставлення з його табличним значенням , яке визначається з таблиці розподілу Стьюдента при числі ступенів свободи та заданому рівні ймовірності p. Якщо < , то з надійністю p можна сказати, що коефіцієнт регресії є статистично незначущим, випадковим.

Перевіримо гіпотезу . Стандартне відхилення коефіцієнта дорівнює 0,16503. Розрахункове значення статистики Стьюдента , а табличне . Оскільки , то гіпотеза відхиляється і коефіцієнт є значущим, аналогічно перевіримо гіпотезу . Стандартне відхилення коефіцієнта дорівнює 18,325. Розрахункове значення статистики Стьюдента , а табличне . Оскільки , то гіпотеза відхиляється і коефіцієнт є незначущим.

5. Довірчі інтервали для коефіцієнтів з рівнем надійності 0,95 мають вигляд:

6. Найчастіше для оцінювання адекватності економетричної моделі експериментальним даним використовують критерій Фішера (F- критерій). При цьому здійснюється аналіз статистичної значущості коефіцієнта детермінації, отже, моделі в цілому. Для цього висувається гіпотеза про те, що вплив факторних змінних x₁, x_2, …_, x_m на поведінку результативної змінної y є суттєво помилковим, а також вибирається максимально можлива ймовірність p прийняття цього припущення, наприклад, p = 5 %. При цих припущеннях розраховують значення F-критерію (статистики Фішера).

Формула F-критерію через коефіцієнт детермінації набирає вигляду:

або .

де — коефіцієнт детермінації; де n — кількість спостережень; m — кількість факторів, які впливають на результативну ознаку.

Розрахункове значення F-критерію (F_розр) порівнюють з табличним (F_табл) при вибраній імовірності (або рівні значущості ) та ступенях вільності: Якщо F_розр>F_табл, то з надійністю p можна сказати, що коефіцієнт детермінації статистично значущий і включені у регресію фактори достатньо пояснюють стохастичну залежність результуючої змінної.

Розрахункове значення критерію Фішера F_розр = 36,69553, а табличне F_табл = 5,317. Якщо F_розр > F_табл, то з надійністю 0,95 можна сказати, що коефіцієнт детермінації статистично значущий і модель адекватна.

Для перевірки адекватності на основі модуля Regressіon порівнюємо величини „Sіgnіfіcance F“ та „р-Values“ із наперед заданим рівнем значущості 0,05. Якщо ці значення менші від 0,05, то коефіцієнт детермінації та коефіцієнти рівняння регресії, відповідно, значущі.

7. Якщо після перевірки модель виявиться адекватною, то можемо на її основі зробити прогноз. Для цього в меню конструктора функцій Іnsert functіon вибираємо функцію Forecast, в першому полі якої вводимо значення ознаки для якої потрібен прогноз, в другому — масив значень результативної змінної, в третьому — масив значень факторної змінної.

Рис. 40. Діалогове вікно інструмента прогнозування

Отримаємо:

Погнозоване значення
X	150
Y	160,088817

8. Економічна інтерпретація отриманих параметрів.

Значення коефіцієнта регресії показує, що при збільшенні обсягу випущеної продукції на 1 тис. гр. од. очікується збільшення середнього значення собівартості випущеної продукції підприємств на 0,999 тис. гр. од.

Значення коефіцієнта регресії економічної інтерпретації не має.