Декартів добуток множин

► Приклад 1. Дано множини і . Знайти .

Розв’язання. Елементи множини (усі можливі впорядковані пари — їх є ) найнаочніше подати за допомогою таблиці розміру :

◄

► Приклад 2. Дано відрізки і . Знайти .

Розв’язання. Множиною буде множина всіх точок заданого на площині Oxy прямокутника, вершини якого мають координати , , , .

◄

Доведення властивостей декартового добутку

Приклад 1. Використовуючи метод двох включень, доведіть, що .

Нехай

Потужність множини. Рівнопотужні множини

Задача 1. Яку потужність має множина всіх простих чисел? Відп: .

Визначити потужність множини всіх чисел, які діляться на 5. Відп: дорівнює

Задача 2. Яка потужність множини всіх підмножин множини: а)  — 32; б) натуральних чисел — — континуум; в) цілих чисел — — континуум; г) раціональних чисел — — континуум; ґ) дійсних чисел? — більша від континууму — .

Задача 3. Встановити взаємно однозначну відповідність між R і R₊.

Розв’язання: чи .

Задача 5. Встановити взаємно-однозначну відповідність між будь-якими двома відрізками і — Це можна зробити одним із способів, поданих на малюнках:

Задача 6. Встановити взаємно однозначну відповідність: а) між відрізком і напівінтервалом ; відп: , , , …, всі решта точки рівні.б) між відрізком і інтервалом . відп: , , , , …, всі решта точки рівні.

Кардинальні числа

Потужності множин називають кардинальними числами.

Кардинальне число називається сумою кардинальних чисел і і позначається , якщо кожна множина потужності еквівалентна об’єднанню , де множини А і В неперетинні й відповідно мають потужності і .

Властивості суми кардинальних чисел

1. , якщо , , — скінченні.

2. , якщо — скінченне.

3. , якщо — нескінченне ( , або с, або більше).

4. .

5.

6.

Кардинальне число називається добутком кардинальних чисел і і позначається , якщо кожна множина потужності еквівалентна декартовому добуткові , де множини А і В відповідно мають потужності і .

Властивості добутку кардинальних чисел

1. , якщо , , — скінченні.

2. , якщо — скінченне, а — нескінченне ( , або с, або більше).

3. , якщо — нескінченне.

4. , якщо — скінченне.

5. , якщо — нескінченне.

6. .

7.

8.

9. , якщо одне із чисел нескінченне і ,

Множина всіх функцій із А в В позначається .

Кардинальне число називається степенем кардинальних чисел і і позначається , якщо кожна множина потужності еквівалентна множині функцій із А в В, де множини А і В відповідно мають потужності і .

Властивості степеня кардинальних чисел

1. , якщо , , — скінченні.

2. .

3. .

4. , якщо n — скінченне.

5. , якщо n — нескінченне.

6.

7. .

8. .

9.

Приклад 8. Знайти потужності множин:

— 3, — 4, — ,

— 7, — 0, — 12,

— 3⁴, — 4³, — , — ,

— , — , — , —

Домашнє завдання до теми “Декартів добуток множин. Рівнопотужність множин”

07.10.11

2. Дано: а) проміжки і ; б) проміжок і дискретну множину . Зобразити графічно і .

3. Зобразити графічно і подати за допомогою нескінченної таблиці декартів добуток множини цілих чисел Z і множини натуральних чисел N.

4. Використовуючи метод двох включень, довести, що: , , , .

5. Встановити взаємно однозначну відповідність між відрізком і відрізком . (графічно).

6. Довести, що множини точок інтервала , відрізка і напівінтервала рівнопотужні.

7. Встановити взаємно однозначну відповідність між: а) інтервалом і множиною дійсних чисел R; б) інтервалом і множиною дійсних чисел R; в) відкритим (без границі) одиничним квадратом і всією площиною .

8. Встановити взаємно однозначну відповідність між точками сфери з виколотою точкою і точками площини.

9. Встановити взаємно однозначну відповідність між: а) катетом а і гіпотенузою с прямокутного трикутника; а) катетами а і b прямокутного трикутника. (зробити це графічно).

10. Дослідити, які елементарні функції встановлюють взаємно-однозначну відповідність між якими інтервалами чи відрізками.

Домашнє завдання до теми “Потужність”

14.10.11

1. Довести, що на дійсній прямій будь-яка множина відкритих інтервалів, які попарно не перетинаються, не більш ніж злічувана.

2. Показати, що множини точок двох кіл еквівалентні.

3. Яка потужність множини ірраціональних чисел?

4. Довести, що об’єднання скінченної чи злічуваної кількості множин потужності континуум, має потужність континуум.

5. Навести приклади таких кардинальних чисел, що , але (Вказівка: зверніть увагу, що нерівність нестрога)

6. Визначити потужності множин , , , , , , , , , де Р — множина всіх раціональних чисел.

———————————————————————————————————————————————————-

Практичне заняття № 0-8

Відображення

Якщо кожному елементу (тобто беремо всю множину А) за деяким правилом зіставлено повністю визначений єдиний елемент , то правило називається відображенням із множини А в множину В. Це позначається так: . Відображення є підмножиною декартового добутку : .

Множину всіх відображень із множини А в множину В позначають .

Якщо множини А і В скінченні і мають відповідно по m і n елементів, то кількість усіх відображень із множини А в множину В дорівнює (кожному окремому елементу із множини А можна зіставити повністю визначений єдиний елемент із множини В — це можна зробити n способами, бо множина В має n елементів; оскільки множина А має m елементів, то всіх способів зіставлення елементів є ).

Відображення називається сюр’єктивним (ще кажуть: сюр’єкцією, відображенням “на”), якщо його областю значень є вся множина В. Таким чином, для сюр’єктивного відображення , а .

Відображення називається ін’єктивним (ще кажуть: ін’єкцією, відображенням “в”), якщо кожен елемент множини В має не більше одного прообразу (тобто з рівності випливає, що ).

Якщо кожному елементу множини А відповідає єдиний елемент множини В і навпаки, то відображення називається бієктивним (ще кажуть: бієкцією, взаємно однозначним, (1-1)-відображенням), а множини А і В при цьому перебувають у взаємно однозначній відповідності. Бієктивне відображення одночасно є сюр’єктивним і ін’єктивним, тобто його областю значень є вся множина В і кожен елемент множини В має рівно один прообраз.

Приклад. Вказати такі множини А і В, щоб те саме правило відповідності було сюр’єктивним, ін’єктивним чи бієктивним: , ,

Наприклад, — сюр’єкція ( ), — ін’єкція (тут частина множини R, а саме інтервал при встановленні відповідності не використовується) ( ), — бієкція ( ).

Функція при є ін’єктивним відображенням, а при — бієктивним, а отже, одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним. (прикладу сюр’єкції в чистому вигляді навести не можливо).

Нехай і деякі відображення. Суперпозицією (ще кажуть: композицією, добутком, складною функцією) цих відображень називається відображення (ще позначають , ), яке визначається так:

, де .

Суперпозиція визначена не для будь-яких пар відображень, а лише для тих, для яких перетин області значень відображення і області визначення відображення не порожня множина: (це є необхідною і достатньою умовою, щоб суперпозиція була непорожньою). Якщо і , то суперпозиція буде порожньою , якщо . Проте суперпозиція двох перетворень тієї самої множини визначена завжди.

Приклад (в лекції інший приклад). Нехай дано множини , , , і задано відображення , і : , , . Знайти , .

Розв’язання. У даному випадку , , і . Тому. , то і є порожнім відображенням.

Нехай і . Відображення називається оберненим до відображення (а відображення оберненим до ), якщо і . Обернене відображення позначають . Якщо існує обернене відображення, то воно буде єдиним. Відображення має обернене тоді і тільки тоді, коли воно бієктивне (взаємно-однозначне).

Відповідності

Поняття відображення можна узагальнити, якщо відмовитися від його повної визначеності, вважаючи, що образ визначено не для кожного елемента із множини А, а лише для деяких її елементів, а також відмовитися від однозначності відображення, вважаючи, що даному елементу зіставлено не один, а кілька елементів (образів) у множині В

Приклад. Чи є задані відповідності функціями? Які з них є відображеннями? , .

(так); (ні); (так, відображення)

Чи можна задати бієктивну відповідність з мн А в мн В?(ні), ін’єктивну (ні), сюр’єктивну (так).

Відношення

Задача. Вкажіть впорядковані пари, які на множинах і належать відношенням

а) —

б) —

Задача. Відношення визначене на множині . Знайти всі впорядковані пари, які йому належать — (1,1), (1,2), …, (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6).

Перерізи відношень. Перерізом відношення за множиною називається множина елементів множини В, поставлених у відповідність елементам множини С: .

Перерізом відношення за множиною називається множина елементів множини С, поставлених у відповідність елементам множини С: .

► Приклад. На множинах і задано відношення . Знайти переріз цього відношення за множинами , і .

Розв’язання. , , . ◄

► Приклад. На множині задано відношення . Знайти переріз за множинами , і ..

Розв’язання. , , — обидві компоненти пари мають бути елементами вказаної множини.

Суперпозиція відношень Нехай і (або і ) деякі відношення. Суперпозицією цих відношень називається відношення (або відношення ), яке визначається так:

(це визначення в різних книжках дається в різному порядку).

,

Оберненим до називається відношення , яке є множиною всіх впорядкованих пар таких, що :

.

Для будь-якого непорожнього відношення його обернене відношення теж є непорожньою множиною. Для побудови графа відношення треба в графі відношення Q змінити напрямок дуг на протилежний. Матриця оберненого відношення буде транспонованою.

Приклад. Відношення задано так: . Знайти , , і .

Розв’язання. Оскільки , то і . Елементи відношення є точками площини . Відповідно до означення обернене відношення визначиться так: . Тому:

.

Відповідно до означення суперпозиції відношень матимемо:

помножимо першу нерівність на 3, а другу на 4

.

Аналогічно:

оскільки і , і , то х і y можуть бути будь-якими ,

оскільки і , і , то х і y можуть бути будь-якими .

Домашнє завдання до теми “Відображення. Відповідності. Відношення”

21.10.11

1. Нехай , і задано відображення: , , , . Скільки і які прообрази мають елементи множини Y? Знайдіть область визначення і область значень відображення. Подати графік відображення, граф і матрицю.

2. Вказати такі множини Х і Y, щоб те саме правило відповідності було сюр’єктивним, ін’єктивним чи бієктивним: , ,

3. На множинах і задано відповідності: ; ; . Які з них є відображеннями і чому? Чи можна задати сюр’єктивну, ін’єктивну і бієктивну відповідність з А в В і чому? ( , ні, так, ні)

4. На множинах і задано відношення і . Скільки всіх бінарних відношень існує на цих множинах? Для кожного відношення вказати: області визначення і значень, чи є відношення функціональним, подати відношення матрицею, графіком, графом, знайти обернені відношення, доповнення до відношень і перерізи за множиною .

5. На множині задано відношення і . За графами і матрицями знайти , , , , .

6. Методом двох включень довести: , , , , .

7. Відношення задано так: . Знайти , , і .

————————————————————————————————————

Практичне заняття № 0-9, 0-10