Домашнє завдання до теми “Основи комбінаторики.

Метод математичної індукції” (обов’язкові — 1-9) 09.09.11

1. Зустрілися 7 давніх друзів. Кожен привітався один з одним і кожен потис руку один одному. Скільки прозвучало привітань і скільки було рукостискань? ( ; ).

2. Студент до екзамену підготував 80 із 90 питань програми. Викладач випадково задає йому три питання. Скільки існує варіантів вибрати: а) три будь-які питання; б) три підготовлені питання; в) два підготовлені й одне непідготовлене питання ( , , )?

3. Є 5 білих, 6 чорних і 7 червоних куль. Скількома способами можна вибрати серед них: а) 2 білі, 3 чорні й 4 червоні кулі; б) 2 кулі одного кольору? (7000, 46)

4. У магазині є 4 види шоколаду. Бабуся хоче купити 6 шоколадок. Скількома способами вона може це зробити, якщо: а) шоколадки можуть бути будь-якого виду; б) буде хоч би одна шоколадка кожного виду? (84, 10)

5. Бабуся має 6 різних цукерок. Скількома способами вона може а) розподілити їх порівну між своїми 3 онуками; б) розкласти порівну в три однакові пакети, порядок яких не має значення? ( ; ).

6. Скількома способами 11 речей по 2, 2, 2, 2 і 3 можна: а) розподілити між 5 людьми; б) розкласти в 5 послідовно розміщених ящиків; в) розкласти в 5 однакових пакетів, порядок яких не має значення? ( ; ; ).

7. Ліфт, у який зайшло 11 пасажирів, зупиняється на 9 поверхах. Пасажири виходитимуть на різних поверхах групами по: а) 2, 4 і 5 осіб; б) 1, 5 і 5 осіб. Скількома способами можна це зробити? (3492720, 698544)

8. У країні є 100 фірм. Частина з них підтримує зв’язки з зарубіжними країнами, а частина — ні. При цьому 40 фірм підтримують зв’язки з країною А, 25 — з В, 50 — з С; одночасно з А і В — 10, А і С — 18, В і С — 12; з А, В і С — 8 фірм. Скільки фірм не підтримують зв’язки з зарубіжними країнами? (17)

9. Використовуючи метод математичної індукції при , довести: а) тотожності ; ; б) що число ділиться на 4;

10. Студенти, крім обов’язкових предметів, мають предмети на вибір. Так, із 8 предметів кожен студент для себе має вибрати 5. Скільки є різних варіантів вибору предметів кожним студентом? ( ).

11. У грі тотобін на 9 закритих позиціях є 4 одиниці і 5 нулів. За одну відкриту позицію з одиницею гравець одержує 2 ставки, за дві — 5 ставок, за три — 20 ставок, а за чотири — 120 ставок. Яка в кожному випадку кількість ставок залишається в організаторів гри? (1, ,4,6)

12. Скільки є десяткових п’ятизначних чисел, у яких кожна наступна цифра: а) більша за попередню; б) менша за попередню? а) ; б)  ?

13. Двоє дітей, мама й тато йдуть у похід і беруть із собою 11 різних предметів. Скількома способами предмети можна розподілити так, щоб дітям дісталося по 2, мамі — 3, татові — 4? ( ).

14. У країні є 100 підприємств-експортерів продукції. 60 експортують свою продукцію в країну А, 25 — у В, 50 — у С; одночасно в країни А і В — 10 підприємств, А і С — 18, В і С — 12. Скільки підприємств одночасно експортують свою продукцію у три країни А, В і С? (5)

Практичне заняття № 0-3

Операції над множинами

Задання множин (друга півпара)

Завдання 2. Опишіть множину парних чисел

( або або

або або )

Приклад 6. Скільки всіх підмножин містить п-елементна множина ( ); т-елементних підмножин ( ); а скільки невласних (2 завжди), скільки власних ( –2) і які?

Операції над множинами (об’єднання, перетин, різниця, симетрична різниця)

Задача. Записати характеристичні предикати для операцій:

,

,

Використання діаграм Венна

Приклад 15. За допомогою діаграм Венна знайти : , (відп: Закони поглинання — А і А).

Приклад 18. Чи існують непорожні множини А, В і С такі, що:

, і

Розв’язання. I спосіб (використовуючи діаграми Вена). Оскільки , то круги, які відповідають цим множинам мають мати перетин, також враховуючи, що , відповідно до цих умов подамо діаграми Венна

Але при такому розміщенні кругів перетин А і В не має спільних елементів з множиною С, тому , а за умовою , тому . Одержали протиріччя. Отже, таких множин немає.

III спосіб (користуючись тотожними перетвореннями).

оскільки , то

.

Отже, таких множин не існує.

IV спосіб (користуючись методом розбиття множини на підмножини).

Подамо множини через розбиття:

,

,

.

1) З умови випливає ,

2) З умови випливає , отже, , тоді

3) З умови випливає:

.

Відповідно до результатів пп. 2 і 3 маємо протиріччя. Отже, таких множин не існує.

Домашнє завдання до теми “Множини. Операції над множинами”

16.09.11

1. Опишіть множину діагоналей опуклих багатокутників, починаючи від трикутника, 4-, 5-, 6-кутника і до n-кутника. Скільки в кожному випадку є діагоналей? Скільки діагоналей у 100-кутника? ( )

2. Наведіть приклади множин геометричних фігур, які є підмножинами множин інших геометричних фігур.

3. Для множин , , знайдіть , , , , , , , .

4. Нехай , , . Знайдіть , , , , , , , , , .

5. Нехай , . Знайдіть , , , , . Зобразіть результати операцій графічно і подайте описи у загальному вигляді.

6. Знайдіть об’єднання всіх кіл, які проходять через 2 задані точки.

7. Знайдіть області визначення функцій: , , , . ( ; ; 2; .

8. Нехай А — множина коренів многочлена , В — множина коренів многочлена . Знайдіть множини коренів многочлена і .

9. Нехай А — множина всіх прямокутників на площині, а В — множина всіх ромбів на площині. Знайти , , .

Практичне заняття № 0-4

Властивості операцій над множинами.

Доведення властивостей, спрощення виразів

Метод двох включень, метод тотожних перетворень

► Приклад 1. Довести закон дистрибутивності ;

а) методом двох включень

|зауважимо, що можна інтерпретувати як або , але в даному випадку нам потрібен другий варіант; аналогічні міркування можна провести й щодо | .

Отже, .

б) методом тотожних перетворень

► Приклад 2. Довести, що ;

а) методом двох включень .

Отже, .

б) методом тотожних перетворень

.

► Приклад 3. Користуючись методом тотожних перетворень, довести, що ;

Розв’язання. Перетворимо ліву частину до правої, скориставшись на початку перетворень тотожністю із пункту 10:

. ◄

Метод характеристичних функцій

Застосування методу характеристичних функцій на відміну від двох попередніх методів не потребує пошуку (вгадування) шляху доведення. У ньому застосовуються лише звичайні алгебраїчні перетворення.

При доведенні теоретико-множинних тотожностей методом характеристичних функцій треба характеристичні функції обох частин тотожності виразити через характеристичні функції множин, які входять в обидва вирази. Тотожність справедлива тоді і тільки тоді, коли характеристичні функції лівої й правої частин рівні.

;

, .

.

.

.

,

.

Приклад. Для симетричної різниці формулу можна одержати, використовуючи властивість , наведені вище характеристичні функції і те, що :

.

Приклад. Методом характеристичних функцій довести: Нерівність (

Спростити вираз (= )

Приклад. Методом характеристичних функцій довести чи спростувати тотожності:

,

Метод розбиття універсальної множини на підмножини

Приклад. Довести, що при виконується включення

Подамо множини А, В, С через елементи розбиття

Подамо через елементи розбиття і виявимо, що включення справедливе при і

Підставимо в вирази А, В, С одержані умови і

Підставимо уточнені вирази А, В, С в вираз

Ми одержали завжди вірне твердження.

Домашнє завдання до теми “Властивості операцій над множинами. Методи доведень”

23.09.11

1. Перевірити за допомогою діаграм Венна, методом двох включень, методом характеристичних функцій і методом розбиття універсальної множини на неперетинні підмножини тотожність .

2. Спростити вирази, використовуючи метод еквівалентних перетворень і метод характеристичних функцій: а)  ; б)  . (А, )

3. Використовуючи метод характеристичних функцій і метод розбиття універсальної множини на неперетинні підмножини, показати, що а)  ; б)  ; в) .

Практичне заняття № 0-5

Принцип двоїстості

Закони де Моргана визначають принцип двоїстості, який полягає в тому, що: для підмножин фіксованої множини з будь-якої рівності, яка містить знаки об’єднання , перетину й доповнення , повністю автоматично можна одержати двоїсту рівність, замінюючи всі знаки об’єднання знаками перетину, а знаки перетину — знаками об’єднання.

► Приклад 1. У таблиці властивостей операцій над множинами знайти 3 пари двоїстих тотожностей.

Розв’язання.

Закон тотожності (ідемпотентності):

, ;

Закон комутативності (переміщуваності): , ;

Закон асоціативності (сполучуваності):

,

;

Закон дистрибутивності (розподільності):

, ;

, ;

Закони де Моргана (принцип подвійності, двоїстості):

, ;

Закони поглинання:

, ,

, .

Проте, якщо тотожність містить інші операції, то:

хоч , ,

але , ;

також , але

.

У більш широкому розумінні принцип двоїстості (розширений) можна сформулювати так:

Якщо справджується якесь співвідношення між підмножинами множини , записане за допомогою знаків , , , , , , тоді справджується двоїсте співвідношення, одержане з даного співвідношення шляхом заміни знаків , , , , відповідно на , , , , символів на і на ; при цьому символи множин загального вигляду не змінюються.

► Приклад 3. Двоїстими є співвідношення: 1) “якщо для всіх А , то ” і “якщо для всіх А , то ”; 2) ) “якщо , то для всіх А ” і “якщо , то для всіх А ”. ◄

Принцип двоїстості спрощує доведення рівностей і співвідношень між множинами.

Розв’язування рівнянь і систем рівнянь з множинами (друга півпара)

Щоб розв’язати рівняння з множинами, треба визначити умови, за яких воно має розв’язок, і знайти сам розв’язок. При цьому враховують те, що дві множини рівні тоді і тільки тоді, коли їхня симетрична різниця порожня, і що будь-яке рівняння, права частина якого є порожньою множиною, використовуючи подання його за допомогою операцій об’єднання, перетину і доповнення і тотожні перетворення, можна перетворити в рівняння виду:

, де і — формули, які не містять Х.

Об’єднання буде порожнім тоді і тільки тоді, коли об’єднувані множини теж порожні. Тому наведене рівняння можна подати системою рівнянь:

Щоб зрозуміти суть цієї системи, зобразимо множини і і множину Х за допомогою діаграм Венна

Ця система, а отже, й початкове рівняння мають розв’язок тоді і тільки тоді, коли . Розв’язком системи є будь-яка множина така, що . Тому треба знайти і , що й дасть розв’язок початкового рівняння.

При розв’язуванні систем рівнянь застосовують аналогічний підхід. Спочатку треба замінити кожне рівняння системи рівнянням, в правій частині якого стоїть порожня множина . Одержану систему, використовуючи операцію об’єднання, замінити одним рівнянням, а потім, проводячи тотожні перетворення, одержане рівняння подати у вигляді і замінити його системою . На основі одержаної системи записати умову існування розв’язку і знайти сам розв’язок .

Для розв’язування рівнянь з множинами можна застосовувати діаграми Венна.

Приклад 1. Визначити, при яких А, В і С система

має розв’язок, і знайти цей розв’язок.

Розв’язання. Подамо кожне рівняння системи через симетричну різницю:

Об’єднаємо рівняння системи в одне рівняння:

Виконаємо перетворення лівої частини рівняння:

застосовуємо тотожність

застосовуємо закони де Моргана ,

застосувавши закони асоціативності, комутативності і властивість доповнення , матимемо, що і

застосовуємо закон дистрибутивності

застосовуємо закон дистрибутивності

враховуємо, що ; крім того, перша і п’ята дужки і одержаного виразу не містять Х чи — їх можна ввести, використовуючи перетин з універсальною множиною, поданою у вигляді

застосовуємо закон дистрибутивності

застосовуємо закон поглинання

застосовуємо закон дистрибутивності у зворотному напрямку

.

Отже, ми привели рівняння до вигляду запишемо умову існування розв’язку , тобто , або , звідки , , і, узагальнивши, матимемо:

Тепер знайдемо сам розв’язок :

, або і, врахувавши умову існування розв’язку , матимемо, що , звідки випливає, що:

.

Домашнє завдання до теми “Принцип двоїстості. Розв’язування рівнянь з множинами”

30.09.11

1. Застосовуючи принцип двоїстості, одержати двоїсті співвідношення до поданих нижче і перевірити їхню справедливість за допомогою діаграм Венна: а)  , , , , , ; б) “якщо , то , , ”; в) “ тоді і лише тоді, коли ”.

2. Визначити умови існування розв’язку і знайти розв’язок рівняння з множинами .

3. Користуючись графічним і аналітичним способами, розв’язати систему рівнянь: а)  де ; б) де , .(а) ; б) )

Практичне заняття № 0-6, 0-7