Основна література.

1. Бондаренко М.Ф, Білоус Н.В., Руткас А.Г. Комп’ютерна дискретна математика. — Харків: Компанія СМІТ, 2004. — 480 с.

2. Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика. — К.: Видавнича група BHV, 2007. — 367 с.

3. Кублій Л.І., Ногін М.В. Вибрані розділи дискретної математики. Алгебричні структури. Алгебра логіки. Математична логіка: Навч. Посібник. — К.: НТУУ “КПІ”, 2012. — 172 с.

4. Бардачов Ю.М., Соколова Н.А., Ходаков B.C. Дискретна математика. — К. : Вища шко­ла, 2002. — 287 с.

5. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. — К.: Техника, 1977 — 768 с.

6. Медведева В.М., Сидоренко Ю.В., Любченко І.М. Основи дискретної математики. К.: НТУУ “КШ”, 2000. — 132 с. ————————————————

Додаток.

Для того, щоб студентам-заочникам легше було розібратися з матеріалом програми, нижче подано теоретичний матеріал і задачі, які розглядаються на практичних заняттях студентами стаціонару. Для тих, хто хоче перевірити якість засвоєння матеріалу самостійно, також подано домашні завдання з відповідями.

Практичне заняття №1

Основи комбінаторики

Частина елементів множини утворює її підмножину. Кожна підмножина елементів теж є множиною. Нагадаємо, що в множині елементи не повторюються і порядок елементів не має значення.

► Задача 1. Нехай є множина . Скільки підмножин можна утворити з елементів даної множини?

Розв’язання. З елементів даної множини, беручи до уваги сказане вище, можна утворити такі підмножини:

.

Їх є 8= . ◄

● Правило обчислення кількості підмножин. Нехай множина містить n елементів. Кожен елемент має альтернативу з двох випадків: увійти в підмножину чи ні. Тоді загальна кількість підмножин, які можуть утворитися із цих елементів, дорівнює . ●

Правило суми Якщо в множині подій кожна окрема подія має відмінні від інших подій варіанти результатів, то для підрахунку кількості варіантів настання якоїсь з них використовується правило суми.

● Правило суми. Нехай множина подій містить k несумісних подій і подія має різних варіантів результату, подія ― інших різних варіантів результату, … , подія — відмінних від попередніх різних варіантів результату, тоді подія чи , чи , … , чи має варіантів результату. ●

► Задача 2. Студент до початку заліково-екзаменаційної сесії може скласти або один залік (є два варіанти результату: “зараховано” і “не зараховано”), або один іспит (є чотири варіанти результату: “відмінно”, “добре”, “задовільно” і “незадовільно”). Скільки є варіантів результату дострокового складання?

Розв’язання. Оскільки результатів складання заліку є два ( ), а результатів складання іспиту є чотири ( ), то всіх можливих результатів дострокового складання буде — “зараховано”, “не зараховано”, “відмінно”, “добре”, “задовільно”, “незадовільно”. ◄

Правило добутку. Якщо події відбуваються одна за одною в певному порядку, то для знаходження всіх можливих варіантів результату (всі можливі варіанти результату утворюють простір елементарних подій ) можна скористатися граф-деревом логічних можливостей, а для підрахунку їхньої кількості — правилом добутку.

● Правило добутку (ще кажуть: правило множення, правило обчислення кількості всіх можливих варіантів, основний принцип комбінаторики). Якщо послідовно складна подія містить k ізольованих подій і спочатку відбувається перша з них і вона має різних варіантів результату, потім відбувається друга подія і вона має різних варіантів результату, …, потім відбувається k-а подія і вона має різних варіантів результату, то загальна кількість різних варіантів результату послідовно складної події дорівнює добуткові . ●

► Задача 4. У відділі є 5 співробітників. Скількома способами їх можна розмістити в 3 кімнатах, якщо в кожній кімнаті може міститися будь-яка кількість людей (від 0 до 5; при цьому можливий варіант, коли одна чи дві кімнати виявляться порожніми)?

Розв’язання. Нехай маємо послідовно складне завдання , де подія — розміщення співробітника i в одній із трьох кімнат. Першу людину можна розмістити або в першій, або в другій, або в третій кімнаті; отже, кількість способів виконання завдання — . Другу людину теж можна розмістити в одній із трьох кімнат; отже, кількість способів виконання завдання — . Аналогічно , , . Тому послідовно складне завдання розміщення 5 людей у 3 кімнатах може бути виконане

способами. ◄

Розміщення Нехай множина містить різні елементи і з її елементів утворюють усі можливі підмножини з однаковою кількістю елементів, а потім елементи в одержаних підмножинах переставляють місцями і одержують різні послідовності.

● Правило обчислення кількості розміщень. Кількість розміщень m різних елементів на n різних місцях (або: кількість усіх впорядкованих -елементних послідовностей із -елемент­ної множини) при дорівнює¹:

,

де і за означенням . ●

► Задача 2. Дано 6 різних цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6. Скільки можна утворити з них: а) двозначних чисел; б) чотиризначних чисел; в) шестизначних чисел, якщо кожна цифра в число може входити тільки один раз?

Розв’язання. а) I спосіб (користуючись формулою обчислення кількості розміщень). Для одержання різних двозначних чисел вибираємо із заданих 6 цифр по 2 різні цифри і враховуємо їхній порядок. За формулою обчислення кількості розміщень маємо:

.

II спосіб (користуючись логічними міркуваннями і правилом множення). .