Сполуки (комбінації) з повтореннями

Нехай множина містить різні елементи і з її елементів утворюють набори з однаковою кількістю елементів, повторюючи ці елементи будь-яку кількість разів, але при цьому порядок елементів не враховується.

● Правило обчислення кількості сполук з повтореннями. Якщо із n різних елементів множини утворювати m-елементні набори, в кожен з яких кожен вибраний елемент може входити будь-яку кількість разів (тобто від 0 до m разів) і порядок елементів у яких не враховується, то кількість таких наборів буде:

,

при цьому можливо, що . ●

Якщо із n різних елементів множини утворювати m-елементні набори (причому ), в кожен з яких кожен вибраний елемент може входити хоч би один раз (тобто не менше одного разу) і порядок елементів у яких не враховується, то кількість таких наборів буде:

.

► Задача 1. Серед чотирьох учасників конкурсу визначають переможця в кожній з двох номінацій і нагороджують його медаллю загального зразка. Скільки є можливих варіантів розподілу медалей між фіналістами?

Розв’язання. I спосіб (користуючись формулою обчислення кількості сполук з повтореннями). Відповідно до умови задачі кожен із фіналістів може одержати дві медалі, одну медаль або жодної (тобто від 0 до 2 медалей). У даній задачі , . Отже, для знаходження кількості всіх можливих варіантів можна скористатися формулою обчислення кількості сполук з повтореннями:

.

II спосіб (користуючись звичайним перебором варіантів). Переможцями в кожній з двох номінацій можуть бути різні учасники або той самий. Позначимо учасників конкурсу A, B, C, D. Тоді можливими комбінаціями розподілу медалей (без врахування порядку) будуть такі:

AA, BB, CC, DD, AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Їх є 10. ◄

► Задача 2. Троє співробітників мають виконати сім однакових завдань. Скільки існує способів розподілу цих завдань, якщо кожен співробітник має виконати хоч би одне завдання?

Розв’язання. I спосіб (користуючись спеціальною формулою). Відповідно до умови задачі є співробітники і завдань. то для обчислення кількості всіх можливих варіантів можна скористатися формулою:

.

II спосіб (користуючись формулою обчислення кількості сполук з повтореннями). Оскільки кожен співробітник має виконати хоч би одне завдання, то обов’язково кожен співробітник виконає по одному завданню, а решту завдання можна розподілити між ними

способами.

III спосіб (користуючись звичайним перебором варіантів). Позначимо співробітників: A, B, C. Тоді можливими комбінаціями розподілу виконання завдань (без врахування порядку) будуть такі:

AВСAААА, AВСAААВ, AВСAААС, AВСAАВВ, AВСAАВС,

AВСAАСС, AВСAВВВ, AВСAВВС, AВСAВСС, AВСAССС,

AВСВВBB, AВСВВBС, AВСВВСС, AВСВССС, AВСССCC.

Їх є 15. ◄

Кількість способів розбиття множини́ на підмножи́ни

Нехай множина містить різні елементи і ця множина розбивається на кілька непорожніх підмножин.

► Задача 1. У групі є 13 студентів. Для проведення лабораторних робіт треба утворити 3 підгрупи, відповідно по 4, 4 і 5 чоловік. Скількома способами можна це зробити? ( )., а потім ці підгрупи розподілити між 3 викладачами ( )?

Розв’язання. При утворенні першої підгрупи треба із 13 студентів вибрати 4. Це можна зробити способами. Для утворення другої підгрупи треба із 9 студентів (оскільки в першу підгрупу вже відібрано 4 студентів) вибрати 4. Це можна зробити способами. Для утворення третьої підгрупи треба із 5 студентів (оскільки в першу і другу підгрупи вже відібрано 4+4=8 студентів) вибрати 5. Це можна зробити способом.

Оскільки виконується послідовно складне завдання, то для знаходження загальної кількості способів утворення підгруп скористаємося правилом добутку:

. ◄

● Правило обчислення кількості способів розбиття множини на підмножини. Кількість способів, якими можна розбити n-елементну множину на k підмножин відповідно з , , …, елементами (де ), становить

. ●

Зауваження 2. Розбиття, в яких підмножини повторюються, але розміщені в різному порядку, наприклад, і — різні. Це можливо лише в тому випадку, коли утворювані підмножини містять однакову кількість елементів, тобто мають однакові обсяги.

Зауваження 3. Послідовність утворення підмножин на загальну кількість розбиттів не впливає.

● Правило обчислення кількості способів одночасного утворення різних підмножин (без врахування їхнього порядку). Нехай із n-елементної множини одночасно утворюється k підмножин (без врахування їхнього порядку) відповідно з , , …, елементами (де ), серед яких деякі підмножини мають однакову кількість елементів, причому з певною однією кількістю елементів є підмножин, з іншою — , …, ще з іншою — , тоді кількість способів утворення таких підмножин становить:

. ●

Задача 15. Для чергування в бібліотеці із 15 співробітників кафедри протягом п’яти робочих днів вибирають по три. Скільки існує різних варіантів чергування, якщо кожен співробітник чергує лише один раз? =168168000. Скільки таких груп можна утворити =1401400?