Розміщення з повтореннями

Нехай множина містить різні елементи і з її елементів утворюють послідовності з однаковою кількістю елементів, повторюючи ці елементи будь-яку кількість разів і розміщуючи їх у різному порядку.

● Правило обчислення кількості розміщень з повтореннями. Якщо із n різних елементів множини утворювати m-елементні послідовності, в кожну з яких кожен вибраний елемент може входити будь-яку кількість разів (тобто від 0 до m разів), то кількість таких послідовностей буде

,

при цьому можливо, що . ●

► Задача 2. Скільки існує тризначних чисел, у які цифри 1, 2, 3, 4, 5 входять будь-яку кількість разів?

Розв’язання. I спосіб (користуючись формулою обчислення кількості розміщень з повтореннями). Тризначних чисел, у яких задані п’ять цифр можуть повторюватися, існує .

. ◄

Перестановки

Нехай множина містить різні елементи і ці елементи переставляють місцями.

● Правило обчислення кількості перестановок. Кількість перестановок із n різних елементів (або: кількість усіх способів впорядкування елементів -елементної множини) дорівнює:

. ●

Нехай у заданій сукупності елементів деякі елементи повторюються і всі елементи сукупності переставляють місцями.

● Правило обчислення кількості перестановок з повтореннями. Якщо серед n елементів сукупності є елементів одного виду, елементів іншого виду, … , елементів k-го виду, то кількість перестановок з повтореннями обчислюється за формулою:

,

де . ●

► Задача. Є цифри 1, 1, 1, 1, 2, 2. Скільки можна утворити з них різних шестизначних чисел?

Розв’язання. I спосіб (користуючись формулою обчислення кількості перестановок з повтореннями). У заданій сукупності цифр цифра 1 повторюється рази, а цифра 2 — рази. За формулою обчислення кількості перестановок з повтореннями одержимо:

.

Сполуки (комбінації)

Нехай з елементів множини утворюють всі можливі підмножини з однаковою кількістю елементів (порядок елементів у підмножині значення не має, тобто елементи в одержаних підмножинах не переставляють місцями і порядок елементів не враховується).

● Правило обчислення кількості сполук. Кількість сполук із n різних елементів по m (або: кількість усіх -елементних підмножин -елементної множини) при дорівнює²:

. ●

Величина називається біноміальним коефіцієнтом.

► Задача 4. У групі є 9 студентів: 5 дівчат і 4 хлопці. Скількома способами можна вибрати серед них 3 дівчат і 2 хлопців?

Розв’язання. Із 5 дівчат треба вибрати 3. Це можна зробити способами.

Із 4 хлопців треба вибрати 2. Це можна зробити способами.

Користуючись правилом добутку, знайдемо загальну кількість способів:

. ◄

Домашнє завдання до теми “Основи комбінаторики”

02.09.2011

1(2.3. У ящику є 20 куль з номерами від 1 до 20. Скільки існує варіантів витягнути кулю з номером, кратним 5 чи 9? ( ).

2(2.6. Два рази підкидають монету і один раз підкидають кубик. Скільки існує можливих варіантів результату? ( ).

3(2.7. Скільки існує різних варіантів подання слова ДОСЛІД, якщо для написання кожної його букви використовувати а) великі й малі букви; б) великі й малі букви звичайного і курсивного накреслення? (а) ; б) ).

4(2.9. У заліково-екзаменаційну сесію студент має скласти 5 заліків (є два варіанти результату: “зараховано” і “не зараховано”) і 4 екзамени (є чотири варіанти результату: “відмінно”, “добре”, “задовільно” і “незадовільно”). Скільки існує варіантів результату сесії? ( ).

5(2.11. Студентові протягом 7 днів треба скласти 4 екзамени. Скількома способами це можна зробити, а) якщо в один день можна складати не більше одного екзамену; б) якщо в один день можна складати будь-яку кількість екзаменів? (а) ; б) ).

62.12. Скільки, як мінімум, треба мати словників, щоб безпосередньо перекладати з 6 мов на будь-яку іншу із цих мов? ( ).

7(2.14. У заліково-екзаменаційну сесію студенти мають складати 5 заліків і 4 екзамени. Скільки існує варіантів розкладу сесії, якщо спочатку в розкладі поставити всі заліки, а потім екзамени? ( ).

8(2.15. Скільки, різних 5-буквених паролів можна утворити, користуючись буквами українського алфавіту (їх є 33), якщо букви можуть повторюватися (тобто одна і та ж буква в паролі може зустрічатися від 0 до 5 разів)? ( ).

9(2.16. Скільки, різних 5-символьних паролів можна утворити, користуючись цифрами (їх є 10) і буквами українського алфавіту (їх є 33), якщо пароль має починатися з букви і символи можуть повторюватися? ( ).

10(2.17. Номерні знаки машин мають вигляд ББ–ЦЦЦЦ–ББ, де Б — це буква, Ц — цифра. Скільки різних номерів можна утворити якщо цифри й букви в номерах можуть повторюватися (усіх цифр є 10, а букв алфавіту є 33)? ( ).

11(2.14. Скількома способами 7 студентів можна: а) записати в список; б) поставити за зростом; в) розсадити за круглим столом? (а) ; б) ; в) (перший не має значення) ).

12(2.28. Нехай є 6 різних цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5. а) Скільки із цих цифр можна утворити різних чотиризначних чисел, кратних 5, якщо кожна цифра в число може входити тільки один раз? б) Скільки можна утворити з них шестизначних чисел, більших від 300000, якщо кожна цифра в число може входити тільки один раз? (а) (врахуйте, що число, кратне 5, закінчується цифрою 0 чи 5); б)  ).

13(2.20. Скільки різних послідовностей можна утворити, переставляючи букви слова: а) ПОДІЯ; б) МАТЕМАТИКА? ( а) ; б)  ).

Практичне заняття №2

Основи комбінаторики. Метод математичної індукції