4. Метод перетворення вектора значень функції до вектора коефіцієнтів полінома Жегалкіна.

► Приклад. Використовуючи метод перетворення вектора значень функції, побудувати поліном Жегалкіна для функції .

Розв’язання. Розіб’ємо кортеж значень функції на послідовність двоелементних наборів

, , , .

Для кожного набору виконаємо перетворення типу :

, ,

, .

За кожною послідовною парою одержаних наборів (тобто вже за чотириелементними наборами) виконаємо аналогічні перетворення:

,

.

Із одержаних наборів утворимо пару і виконаємо перетворення:

.

Дана функція набуває значень 1 на наборах аргументів : , , , . Тому відповідно одержимо елементарні кон’юнкції , , , . Поліном Жегалкіна матиме вигляд:

.

Лінійність функції. Функція лінійна, якщо вона є константою або її можна подати у вигляді полінома Жегалкіна першого степеня . Якщо ж поліном Жегалкіна функції містить хоч би один логічний добуток, то функція нелінійна.

Домашнє завдання до теми “Перетворення формул в ДНФ, ДДНФ, КНФ, ДКНФ. Поліноми Жегалкіна”

18.11.11

1. Для функцій , , , використовуючи перетворення, одержати ДНФ, ДДНФ, КНФ, ДКНФ.

2. Побудувати за даною ДНФ функції її ДДНФ: а) ; б)  .

3. Побудувати за даною КНФ функції її ДКНФ: а) ; б) .

4. Перейти від ДНФ функції до КНФ: .

5. Перейти від КНФ функції до ДНФ: .

6. Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів і перетворення формул над множиною операцій , подати у вигляді полінома Жегалкіна функції , , .

7. Побудувати поліном Жегалкіна для функції шляхом перетворення її ДДНФ у поліном і перетворення вектора значень функції у вектор коефіцієнтів полінома. Правильність перевірити таблично.

Практичне заняття № 0-13

Функціональна повнота

1 Дослідження повноти системи шляхом зведення до повної системи.

Теорема. Нехай є дві системи логічних функцій і і система функціонально повна. Якщо кожна функція із системи подана суперпозицією функцій із системи , то система теж є функціонально повною.

Задача 1. Дослідити повноту системи , , , ( ) шляхом зведення до повної системи: а) ,

Розв’язання. Подамо функції повної системи через задані функції:

а) (справді: ),

(справді:

)

(справді: ).

Із заданої системи ми одержали функції повної системи ( ) . Отже, дана система ( ) повна

2 Монотонність функції. Нехай на множині всіх n-елементних двійкових кортежів задано відношення часткового порядку. Це означає, що для кортежів і виконується , якщо для всіх (при цьому , , ). Наприклад, , але кортежі і порівняти не можна.

Функція називається монотонною, якщо для будь-яких двійкових кортежів і із того, що випливає, що , тобто при переході від будь-якого меншого набору значень аргументів до більшого значення функції не може зменшитися³. Якщо , а хоч би для однієї пари наборів значень аргументів і таких, що , то функція називається немонотонною.

Щоб перевірити монотонність функції за означенням, треба проаналізувати таблицю функції, що може виявитися досить громіздкою задачею. Полегшити розв’язання цієї задачі може подання булевого куба за допомогою діаграми Хассе. Діаграми Хассе для частково впорядкованих множин , і наборів усіх можливих значень двох, трьох і чотирьох логічних змінних мають відповідно вигляд:

► Задача 2. Визначити, чи є монотонною функція .

Розв’язання. Для функції :

У цій діаграмі, наприклад, шляхові відповідає послідовність значень функції , в якій порушено порядок. Отже, функція немонотонна.  ◄

Якщо функція залежить від п’яти і більше аргументів, то діаграма Хассе буде дуже громіздкою і нею скористатися буде практично неможливо.

Існує необхідна ознака, за допомогою якої легко можна виявити, що функція немонотонна. Так, якщо функція f не зберігає 0 і не зберігає 1, тобто , то вона немонотонна; проте є немонотонні функції, які належать , наприклад . Усі монотонні функції, крім констант 0 і 1, належать . Таким чином, одночасна належність системам і є необхідною, але не достатньою умовою монотонності.

Існує необхідна й достатня умова монотонності логічної функції, яка випливає з монотонності функцій і .

● Теорема. Логічна функція, відмінна від константи, є монотонною тоді і тільки тоді, коли її можна подати лише за допомогою операцій кон’юнкції і диз’юнкції. ●

З даної теореми випливає, що за виглядом ДНФ чи КНФ функції можна встановити її монотонність.

Алгоритм дослідження монотонності. Щоб дослідити, чи є певна функція монотонною, треба спочатку подати її через операції стандартного базису з якомога меншою кількістю заперечень. При цьому, якщо функція задана формулою, то для переходу до стандартного базису використовуються еквівалентності: , , , , , , , ; якщо ж функція задана таблицею істинності чи вектором своїх значень, то треба побудувати її ДДНФ чи ДКНФ. Після цього треба позбутися заперечень, використовуючи закони дистрибутивності, де Моргана, подвійного заперечення, правила склеювання і , правила поглинання і , тотожності , тощо. Якщо після проведення перетворень формула функції не містить заперечень, то функція монотонна; якщо ж позбутися заперечення неможливо, то — не монотонна. Зауважимо, що часом при спрощенні функції, поданої формулою в стандартному базисі, її подання без заперечень може бути не очевидним. Пізніше буде розглянуто методи одержання скорочених ДНФ, які дають однозначну відповідь щодо монотонності логічних функцій.

Задача 3. Використовуючи подання функцій через кон’юнкції і диз’юнкції, дослідити, чи є монотонними такі логічні функції: а)  ; б)  ;

Розв’язання. а) Функцію задано формулою. Враховуючи, що і , виконаємо перетворення:

.

Отже, функція — немонотонна.

б) Враховуючи, що , матимемо:

.

Одержана формула містить лише операцію кон’юнкції, а заперечення в ній немає. Отже, функція монотонна.

Серед функцій від двох аргументів монотонними є функції 0, 1, х, , , немонотонними — , , , , , , .

Будь-які суперпозиції монотонних логічних функцій дають монотонну функцію і за допомогою лише монотонних функцій не можна побудувати немонотонну функцію. Але за допомогою немонотонних функцій можна побудувати монотонну, наприклад, , .