Замикання відношення

Якщо якесь відношення не має певної властивості, то можна спробувати продовжити це відношення (тобто до нього додати елементи, яких бракує) до відношення , яке буде мати цю властивість. При цьому буде підмножиною відношення : . Якщо множина буде мінімальною серед усіх розширень з даною властивістю, то називається замиканням відношення відносно даної властивості.

При цьому замикання відношення відносно рефлексивності , відносно симетричності , відносно транзитивності .

Алгоритм Уоршалла знаходження транзитивного замикання:

К1. ; ;

К2. У матриці вибираємо рядок з номером ; цей рядок буде ключовим;

К3. Для кожного із решти рядків (з номерами , відмінними від ) матриці таких, що елемент стовпчика — , знаходимо поелементну диз’юнкцію з ключовим рядком ;

К4. Якщо , то одержано матрицю транзитивного замикання ; інакше переходимо на К2.

Дослідити, якими є ввідношення:

а) при (рснт)

б) на множині людей “х має тих самих батьків, що і у” (рст) еквівалентності

в) на множині людей “х є братом у” (нрнст)

Дослідити, якими є ввідношення:

а) при (ртнс-кс) — порядку нестрогого повного (лінійного)

б) на Z “ — непарне число” (р, т, не сим, не кососим, асиметр)

Домашнє завдання до теми “Властивості відношень. Спеціальні відношення”

28.10.11

1. Довести, що для будь-яких бінарних відношень виконуються рівності: а)  ; б) ; в) .

2. Визначити тип відношення: а) “ — непарне число”; б) “ парне число”; в) “…старший чи молодший, ніж…”; г) “…не вищий, ніж…”. (стнр; ртнс; снрнт; ртнс)

3. На множині задано відношення а)  ; б)  . Дослідити, чи є ці відношення функціональними, тотожними, рефлексивними, симетричними, транзитивними. Знайти обернені відношення, доповнення відношень, квадрати відношень, замикання цих відношень до рефлексивного, симетричного, транзитивного (за допомогою звичайних міркувань і за алгоритмом Уоршалла), перерізи їх за множинами і . ( , , , )

4. Перевірити, чи є задані відношення відношеннями еквівалентності і описати класи еквівалентності, на які розбивається множина А: а) , “ — парне число”; б) А — множина книг в бібліотеці, “колір палітурки х збігається з кольором палітурки у”; в) А — множина людей, “х тієї ж статі, що й у”.

5. Показати, що наведені відношення є відношеннями порядку і визначити тип впорядкованості: а) “х довший за у” на множині відрізків на площині; б) “х підпорядкований у” на множині посад; в) “х є нащадком у” на множині людей.

6. Нехай А — множина всіх підмножин множини . Встановити, чи є відношення “Х — підмножина Y” відношенням порядку на множині А. Якщо так, то намалювати діаграму Хассе і вказати тип впорядкованості.

————————————————————————————————————

Практичне заняття № 0-11

Алгебра логіки. Двоїстість. Нормальні форми

Двоїстість формул

Задача 1. Знайти двоїсту функцію до: .

— це

Парами двоїстих функцій є функції

0 і 1, х і х, і , і ,

і , і ,

і

що легко перевірити за означенням чи за допомогою таблиць істинностей

Принцип двоїстості: якщо в формулі, яка реалізує функцію f, усі знаки функцій замінити знаками відповідних двоїстих функцій, зберігши структуру формули, то одержана формула буде реалізувати двоїсту функцію . Принцип двоїстості в алгебрі Буля. Для будь-якої функції, формула якої містить знаки операцій кон’юнкції , диз’юнкції і заперечення , а також константи 0 і 1, повністю автоматично можна одержати двоїсту функцію, замінюючи в формулі всі знаки кон’юнкції знаками диз’юнкції, знаки диз’юнкції знаками кон’юнкції, 0 на 1, 1 на 0 (при цьому символи змінних і знак операції заперечення не змінюються і зберігається структура формули).

Задача 2. Використовуючи принцип двоїстості, записати двоїсті тотожності і формули двоїстих функцій до — ( );

—( );

— узагальнене правило склеювання— ( )

— ( )

Задача 3. Дослідити, чи є функція самодвоїстою. — побудувати таблицю.

Нормальні форми

Задача 4. На яких наборах даних функція набуває значень 1. (000, 001, 101, 011, 110)

Задача 7. Подати у вигляді ДКНФ функцію (

Домашнє завдання до теми “Алгебра логіки. Двоїстість. Нормальні форми”

11.11.11

1. Використовуючи означення двоїстої функції, записати формули двоїстих функцій до: а) ; б)  ; в)  .

2. За допомогою таблиць істинності показати, що двоїстими функціями є: і , і .

3. Використовуючи принцип двоїстості, записати двоїсті тотожності і формули двоїстих функцій до: а)  ; б)  ; в) ; г) ; ґ)  ; д)  ; е)  . (Правильність побудови формул двоїстої до функції з завдань 1б і 3д перевірити за таблицею істинності)

4. Дослідити, чи є функція самодвоїстою.

5. Для функцій , , записати ДДНФ і ДКНФ.

Практичне заняття № 0-12