4. Электрические однофазные периодические несинусоидальные цепи Задача 4

4.1. Условия задачи

Рассмотрим электрическую цепь однофазного переменного тока, схема которой приведена на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Схема электрической цепи

Пусть цепь питается с частотой , от периодической несинусоидальной ЭДС, представленной импульсной функцией с шириной импульсов и амплитудой , разложенной в ряд Фурье с постоянной составляющей и первыми тремя гармониками:

.

Дано: R1=119Ом, R2=115Ом, R3=97Ом, C3=3.8 Ф, L4=0.096Гн.

Необходимо:

1. Построить график мгновенной ЭДС e(wt) при изменении .

2. Построить графики гармоник мгновенных ЭДС.

3. Определить максимальные значения ЭДС гармоник в вольтах.

4. Определить комплексы сопротивлений реактивных элементов для каждой гармоники, комплекс полного сопротивления цепи, комплексы полных сопротивлений для каждой гармоники в омах.

5. Определить амплитудные значения токов для каждой гармоники, рассчитать их модули и аргументы; определить выражения гармоник, составляющих токи участков цепи, а также уравнения мгновенных значений токов ветвей цепи и построить графики мгновенных значений токов ветвей цепи и их гармоник.

4.2. Решение

4.2.1. Построение графика мгновенной ЭДС e(wt) (рис.4.2).

>> Am=100;

>> f=50;

>> w=2*pi*f;

>> wt=0:pi/100:2*pi;

>> y=(Am*pi/6)/(2*pi)+(2*Am)/pi*(sin(pi/6/2)*cos(wt)+1/2*sin(2*pi/6/2)*

cos(2*wt)+1/3*sin(3*pi/6/2)*cos(3*wt));

>> plot(wt,y),grid

>> xlabel('wt'),ylabel('e(wt)')

4.2.2. Построение графиков гармоник мгновенных ЭДС (рис.4.3).

>> e0=(Am*pi/6)/(2*pi);

>> e1=(2*Am)/pi*(sin(pi/6/2)*cos(wt));

>> e2=(2*Am)/pi*(1/2*sin(2*pi/6/2)*cos(2*wt));

>> e3=(2*Am)/pi*(1/3*sin (3*pi/6/2)*cos(3*wt));

>> plot(wt,e0,wt,e1,'g--',wt,e2,'m:',wt,e3,'b-.'),grid

>> xlabel('wt'),ylabel('e0,e1,e2,e3')

Рис.4.2. График мгновенной ЭДС

Рис.4.3. Графики гармоник мгновенных ЭДС

4.2.3. Максимальные значения ЭДС гармоник в вольтах:

>> Em0 = (Am*pi/6) / (2*pi)

Em0 =

8.3333

>> Em1 = (2*Am)/pi*sin(pi/6/2)

Em1 =

16.4769

>> Em2 = (2*Am)/pi*1/2*sin(2*pi/6/2)

Em2 =

15.9155

>> Em3 = (2*Am)/pi*1/3*sin(3*pi/6/2)

Em3 =

15.0053

4.2.4. Определение комплексов сопротивлений реактивных элементов для первой, второй и третьей гармоник; комплекса полного сопротивления цепи и комплексов полных сопротивлений для каждой гармоники.

Комплексы сопротивлений реактивных элементов для первой, второй и третьей гармоник в омах:

>> XL41=i*w*L4

XL41 =

0 +30.1440i

>> XL42=i*2*w*L4

XL42 =

0 +60.2880i

>> XL43=i*3*w*L4

XL43 =

0 +90.4320i

>> XC31=-i/(w*C3)

XC31 =

0 -83.8082i

>> XC32=-i/(2*w*C3)

XC32 =

0 -41.9041i

>> XC33=-i/(3*w*C3)

XC33 =

0 -27.9361i

Комплекс полного сопротивления цепи в омах:

>> Z3=(R3*XC31)/(R3+XC31)

Z3 =

41.4604 -47.9864i

>> Z23=R2+Z3

Z23 =

1.5646e+002 -4.7986e+001i

>> Z123=(R1*Z23)/(R1+Z23)

Z123 =

69.1057 - 8.6918i

>> Z4=i*w*L4

Z4 =

0 +30.1440i

>> Z=(2*Z4)+Z123

Z =

69.1057 +51.5962i

Комплексы полных сопротивлений для каждой гармоники в омах:

>> Z0 = 69.1057;

>> Z1 = 69.1057 +51.5962i;

>> Z2 = 69.1057 +2*51.5962i

Z2 =

6.9106e+001 +1.0319e+002i

>> Z3 = 69.1057 +3*51.5962i

Z3 =

6.9106e+001 +1.5479e+002i

5.2.1 Определение амплитудных значений токов для каждой гармоники в амперах:

>> Im0=Em0/Z0

Im0 =

0.1206

>> Im1=Em1/Z1

Im1 =

0.1531 - 0.1143i

>> Im2=Em2/Z2

Im2 =

0.0713 - 0.1065i

>> Im3=Em3/Z3

Im3 =

0.0361 - 0.0808i

5.2.2 Определение модулей значений токов для каждой гармоники в амперах:

>> mod0=abs(Im0)

mod0 =

0.1206

>> mod1=abs(Im1)

mod1 =

0.1911

>> mod2=abs(Im2)

mod2 =

0.1281

>> mod3=abs(Im3)

mod3 =

0.0885

5.2.3 Определение аргументов гармоник токов в градусах:

>> fi0=(180/pi)*angle(Im0)

fi0 =

0

>> fi1 = (180/pi)*angle(Im1)

fi1 =

-36.7460

>> fi2 = (180/pi)*angle(Im2)

fi2 =

-56.1906

>> fi3 = (180/pi)*angle(Im3)

fi3 =

-65.9415

5.2.4 Уравнения гармоник мгновенного тока i:

i0 = 0.1206;

i1 = 0.1911*sin(wt – 36.7460);

i2 = 0.1281*sin(2*wt – 56.1906);

i3 = 0.0885*sin(3*wt – 65.9415);

5.2.5 Мгновенное значение тока i:

i = 0.1206 + 0.1911*sin(wt–36.7460) + 0.1281*sin(2*wt–56.1906) + 0.0885*sin(3*wt – 65.9415)

5.2.6 Построение графиков мгновенного тока i и составляющих его гармоник (рис.4.4):

>> f=50;

>> w=2*pi*f;

>> wt=0:pi/100:2*pi;

>> i0 = 0.1206;

>> i1 = 0.1911*sin(wt-36.7460);

>> i2 = 0.1281*sin(2*wt-56.1906);

>> i3 = 0.0885*sin(3*wt-65.9415);

>> i = 0.1206+0.1911*sin(wt-36.7460)+0.1281*sin(2*wt-56.1906)+0.0885* sin(3*wt-65.9415);

>> plot(wt,i0,wt,i1,'g--',wt,i2,'m:',wt,i3,'b-.',wt,i,'c-'),grid

>> xlabel('wt'),ylabel('i0,i1,i2,i3,i')

Рис.4.4. Графики мгновенного тока i и составляющих его гармоник

5.2.7 Действующее значение тока I в амперах:

>> Im0 =0.1206;

>> Im1 =0.1531 - 0.1143i;

>> Im2 =0.0713 - 0.1065i;

>> Im3 =0.0361 - 0.0808i;

>> I =sqrt((abs(Im0/sqrt(2)))^(2)+(abs(Im1/sqrt(2)))^(2)+(abs(Im3/sqrt(2)))^(2))

I =

0.1716

5.2.8 Расчёт тока I1 в амперах:

Определение амплитудных значений токов для каждой гармоники в амперах:

>> Em 0=8.3333 В;

>> R1=119 Ом;

>> UmR10=Em0

UmR 10 =

8.3333 В

>> Im 10=UmR10/R1

Im10 =

0.0700 А

>> modem 10=abs(Im10)

мod Im10 =

0.0700 A

>> fiIm10=(180/pi)*angle(Im10)

fiIm10 =

0 град

>> Em1=16.4769 В;

>> Im1=0.1531-0.1143i А;

>> XL41 =0 +30.1440i Ом;

>> UmR11=Em1-(Im1*(2*XL41))

UmR11 =

9.5860 - 9.2301i В

>> Im11=UmR11/R1

Im11 =

0.0806 - 0.0776i A

>> modIm11=abs(Im11)

modIm11 =

0.1118 A

>> fiIm11=(180/pi)*angle(Im11)

fiIm11 =

-43.9164 град

>> Em2=15.9155 B;

>> Im2=0.0713 - 0.1065i A;

>> XL42=0 + 60.2880i Ом;

>> UmR12=Em2-Im2*(2*XL42)

UmR12 =

3.0742 - 8.5971i В

>> Im12=UmR12/R1

Im12 =

0.0258 - 0.0722i А

>> modIm12=abs(Im12)

modIm12 =

0.0767 A

>> fiIm12=(180/pi)*angle(Im12)

fiIm12 =

-70.3239 град

>> Em3=15.0053 B;

>> XL43 =0 +90.4320i Ом;

>> Im3 =0.0361 - 0.0808i А;

>> UmR13=Em3-Im3*(2*XL43)

UmR13 =

0.3915 - 6.5292i В

>> Im13=UmR13/R1

Im13 =

0.0033 - 0.0549i А

>> modIm13=abs(Im13)

modIm13 =

0.0550 А

>> fiIm13=(180/pi)*angle(Im13)

fiIm13 =

-86.5687 град

Построение графиков мгновенного тока i1 и составляющих его гармоник (рис.4.5):

>> f=50;

>> w=2*pi*f;

>> wt=0:pi/100:2*pi;

>> i10 = 0.0700;

>> i11 = 0.1118 *sin(wt-43.9164);

>> i12 = 0.0767 *sin(2*wt-70.3239);

>> i13 = 0.0550 *sin(3*wt-86.5687);

>> i1 =0.0700 +0.1118 *sin(wt-43.9164)+ 0.0767 *sin(2*wt-70.3239)+ 0.0550 *sin(3*wt-86.5687);

>> plot(wt,i10,wt,i11,'g--',wt,i12,'m:',wt,i13,'b-.',wt,i1,'c-'),grid

>> xlabel('wt'),ylabel('i10,i11,i12,i13,i1')

Действующее значение тока I1 в амперах:

>> Im10 =0.0700;

>> Im11 =0.0806 - 0.0776i;

>> Im12 =0.0258 - 0.0722i;

>> Im13 =0.0033 - 0.0549i;

Рис.4.5. Графики мгновенного тока i1 и составляющих его гармоник

>> I1 = sqrt((abs(Im10/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im11/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im12/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im13/sqrt(2)))^(2))

I1 = 0.1147

5.2.9 Расчёт тока I2 в амперах.

Определение амплитудных значений токов для каждой гармоники в амперах:

>> Em0=8.3333 В;

>> R2 =115Ом;

>> R3=97Ом;

>> UmR10=Em0

UmR10 =

8.3333 В

>> Im20=UmR10/(R2+R3)

Im20 =

0.0393 А

>> modIm20=abs(Im20)

modIm20 =

0.0393 А

>> fiIm20=(180/pi)*angle(Im20)

fiIm20 =

0 град

>> Im21=UmR11/(XC31*R3/(XC31+R3)+R2)

Im21 =

0.0725 - 0.0367i A

>> modIm21=abs(Im21)

modIm21 =

0.0813 A

>> fiIm21=(180/pi)*angle(Im21)

fiIm21 =

-26.8656 град

>> Im22=UmR12/(XC32*R3/(XC32+R3)+R2)

Im22 =

0.0387 - 0.0555i A

>> modIm22=abs(Im22)

modIm22= 0.0677 A

>> fiIm22=(180/pi)*angle(Im22)

fiIm22=

-55.1548 град

>> Im23=UmR13/(XC33*R3/(XC33+R3)+R2)

Im23=

0.0138 - 0.0504i A

>> modIm23=abs(Im23)

modIm23= 0.0523 A

>> fiIm23=(180/pi)*angle(Im23)

fiIm23= -74.6701 град

Построение графиков мгновенного тока i2 и составляющих его гармоник (рис.4.6):

>> f=50;

>> w=2*pi*f;

>> wt=0:pi/100:2*pi;

>> i20 = 0.0393;

>> i21 = 0.0813 *sin(wt-26.8656);

>> i22 = 0.0677 *sin(2*wt-55.1548);

>> i23 = 0.0523 *sin(3*wt-74.6701);

>> i2 = 0.0393+ 0.0813 *sin(wt-26.8656)+ 0.0677 *sin(2*wt-55.1548)+ 0.0523 *sin(3*wt-74.6701);

>> plot(wt,i20,wt,i21,'g--',wt,i22,'m:',wt,i23,'b-.',wt,i2,'c-'),grid

>> xlabel('wt'),ylabel('i20,i21,i22,i23,i2')

Рис.4.6. Графики мгновенного тока i2 и составляющих его гармоник

Действующее значение тока I2 в амперах:

>> Im20 =0.0393;

>> Im21 =0.0725 - 0.0367i;

>> Im22 =0.0387 - 0.0555i;

>> Im23 =0.0138 - 0.0504i;

>> I2 = sqrt((abs(Im20/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im21/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im22/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im23/sqrt(2)))^(2))

I2 =

0.0879

5.2.9 Расчёт тока I3 в амперах.

Определение амплитудных значений токов для каждой гармоники в амперах:

>> Em0=8.3333 В;

>> R2 =115 Ом;

>> R3=97 Ом;

>> UmR10=Em0

UmR10 =

8.3333 В

>> Im20=0.0393 A;

>> UmR30 = UmR10 - Im20 * R2

UmR30 =

3.8138 B

>> Im30 = UmR30 / R3

Im30 =

0.0393 A

>> modIm30=abs(Im30)

modIm30 =

0.0393 А

>> fiIm30=(180/pi)*angle(Im30)

fiIm30 =

0 град

>> UmR11=9.5860 - 9.2301i;

>> UmR31 = UmR11 - Im21 * R2

UmR31 =

1.2485 - 5.0096i B

>> Im31 = UmR31 / R3

Im31 =

0.0129 - 0.0516i A

>> modIm31=abs(Im31)

modIm31 =

0.0532 A

>> fiIm31=(180/pi)*angle(Im31)

fiIm31 =

-76.0057 град

>> UmR12=3.0742 - 8.5971i;

>> UmR32 = UmR12 - Im22 * R2

UmR32 =

-1.3763 - 2.2146i B

>> Im32 = UmR32 / R3

Im32 =

-0.0142 - 0.0228i A

>> modIm32=abs(Im32)

modIm32 =

0.0269 A

>> fiIm32=(180/pi)*angle(Im32)

fiIm32 =

-121.8596 град

>> UmR13=0.3915 - 6.5292i i;

>> UmR33 = UmR13 - Im23 * R2

UmR33 =

-1.1955 - 0.7332i B

>> Im33 = UmR33 / R3

Im33 =

-0.0123 - 0.0076i A

>> modIm33=abs(Im33)

modIm33 =

0.0145 A

>> fiIm33=(180/pi)*angle(Im33)

fiIm33 =

-148.4792 град

Построение графиков мгновенного тока i3 и составляющих его гармоник (рис.4.7):

>> f=50;

>> w=2*pi*f;

>> wt=0:pi/100:2*pi;

>> i30 = 0.0393;

>> i31 = 0.0532 *sin(wt-76.0057);

>> i32 = 0.0269 *sin(2*wt-121.8596);

>> i33 = 0.0145 *sin(3*wt-148.4792);

>> i3 = 0.0393+ 0.0532 *sin(wt-76.0057)+ 0.0269 *sin(2*wt-121.8596)+ 0.0145 *sin(3*wt-148.4792);

>> plot(wt,i30,wt,i31,'g--',wt,i32,'m:',wt,i33,'b-.',wt,i3,'c-'),grid

>> xlabel('wt'),ylabel('i30,i31,i32,i33,i3')

Действующее значение тока I3 в амперах:

>> Im30 =0.0393;

>> Im31 =0.0129 - 0.0516i;

>> Im32 =-0.0142 - 0.0228i;

>> Im33 =-0.0123 - 0.0076i;

>> I3 = sqrt((abs(Im30/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im31/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im32/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im33/sqrt(2)))^(2))

I3 =

0.0515

5.2.10 Расчёт тока I4 в амперах.

Определение амплитудных значений токов для каждой гармоники в амперах:

>> Im40 = 0 A

>> modIm40=abs(Im40)

modIm40 =

0 А

Рис.4.7. Графики мгновенного тока i3 и составляющих его гармоник

>> UmR31 = 1.2485 - 5.0096i В;

>> XC31 = 0 -83.8082i Ом;

>> Im41 = UmR31 / XC31

Im41 =

0.0598 + 0.0149i A

>> modIm41=abs(Im41)

modIm41 =

0.0616 A

>> fiIm41=(180/pi)*angle(Im41)

fiIm41 =

13.9943 град

>> UmR32 = -1.3763 - 2.2146i В;

>> XC32 = 0 -41.9041i Ом;

>> Im42 = UmR32 / XC32

Im42 =

0.0528 - 0.0328i A

>> modIm42=abs(Im42)

modIm42 =

0.0622 A

>> fiIm42=(180/pi)*angle(Im42)

fiIm42 =

-31.8596 град

>> UmR33 = -1.1955 - 0.7332i В;

>> XC33 = 0 -27.9361i Ом;

>> Im43 = UmR33 / XC33

Im43 =

0.0262 - 0.0428i A

>> modIm43=abs(Im43)

modIm43 =

0.0502 A

>> fiIm43=(180/pi)*angle(Im43)

fiIm43 =

-58.4792 град

Построение графиков мгновенного тока i4 и составляющих его гармоник (рис.4.8):

>> f=50;

>> w=2*pi*f;

>> wt=0:pi/100:2*pi;

>> i40 = 0;

>> i41 = 0.0616 *sin(wt+13.9943);

>> i42 = 0.0622 *sin(2*wt-31.8596);

>> i43 = 0.0502 *sin(3*wt-58.4792);

>> i4 = 0 + 0.0616 *sin(wt+13.9943) + 0.0622 *sin(2*wt-31.8596) + 0.0502 *sin(3*wt-58.4792);

>> plot(wt,i40,wt,i41,'g--',wt,i42,'m:',wt,i43,'b-.',wt,i4,'c-'),grid

>> xlabel('wt'),ylabel('i40,i41,i42,i43,i4')

Действующее значение тока I4 в амперах:

>> Im40 =0;

>> Im41 =0.0598 + 0.0149i;

>> Im42 =0.0528 - 0.0328i;

>> Im43 =0.0262 - 0.0428i;

>> I4 = sqrt((abs(Im40/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im41/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im42/sqrt(2)))^(2) + (abs(Im43/sqrt(2)))^(2))

I4 =

0.0713

Рис.4.8. Графики мгновенного тока i4 и составляющих его гармоник