Электрические цепи трёхфазного переменного тока Задача 3
3.1. Условия задачи
Рассмотрим электрическую цепь трёхфазного переменного тока, схема которой приведена на рис. 3.1, соединённую треугольником, имеющую симметричные источники ЭДС и несимметричные потребители.
Заданы
амплитудные значения ЭДС равные линейному
напряжению
,
частота сети
,
угловая частота
,
а также параметры цепи: резисторы
;
конденсатор
;
катушки индуктивности
.
Необходимо, используя комплексный метод расчёта цепей трёхфазного синусоидального тока, произвести расчёт потенциалов узловых точек цепи, приняв, что потенциалы узлов А, В, С расположены симметрично от начала координат; определить комплексные значения токов во всех ветвях цепи; проверить баланс мощностей источников и потребителей цепи.
Рис. 3.1. Схема электрической цепи
3.2. Решение
Комплексы ЭДС фаз генератора, соединённых треугольником, в вольтах:
;
;
.
>> Eab=380*exp(j*pi/180*0)
Eab =
380
>> Ebc=380*exp(j*pi/180*(-120))
Ebc =
-1.9000e+002 -3.2909e+002i
>> Eca=380*exp(j*pi/180*(120))
Eca =
-1.9000e+002 +3.2909e+002i
Комплексы сопротивлений в ветвях нагрузки, соединённой треугольником, в омах:
>> R1=119;
>> R2=115;
>> Z1=R1
Z1 =119
>> Z2=R2
Z2 =
115
Комплексы сопротивлений фазы “cа” и линейных проводов в омах:
>> R3=97;
>> C3=3.8*10^(-5);
>> f=50;
>> w=2*pi*f;
>> Z3=R3*(-i/w*C3)/(R3+(-i/w*C3))
Z3 =
1.5083e-016 -1.2096e-007i
>> L4=0.096;
>> Z4=i*w*L4
Z4 =
0 +30.1593i
Для определения потенциалов узловых точек цепи, преобразуем исходную схему треугольника (рис. 3.1) в схему звезды (рис. 3.2), используя симметричность ЭДС фаз генератора и эквивалентность фаз приёмника.
Комплексы ЭДС фаз генератора, соединённых звездой, в вольтах:
;
;
.
>> Ea=Em/sqrt(3)*exp(j*pi/180*(-30))
Ea =
1.9000e+002 -1.0970e+002i
Рис 3.2. Схема электрической цепи
>> Eb=Em/sqrt(3)*exp(j*pi/180*(-150))
Eb =
-1.9000e+002 -1.0970e+002i
>> Ec=Em/sqrt(3)*exp(j*pi/180*(90))
Ec =
0 +2.1939e+002i
Комплексы фаз сопротивлений, соединённых звездой, в омах:
>> Za = (Z1*Z3)/(Z1+Z2+Z3)
Za =
1.0850e-016 -6.1513e-008i
>> Zb = (Z1*Z2)/(Z1+Z2+Z3)
Zb =
58.4829 + 0.0000i
>> Zc = (Z2*Z3)/(Z1+Z2+Z3)
Zc =
1.0486e-016 -5.9445e-008i
Комплексы фаз сопротивлений, соединённых звездой, с учётом сопротивлений линейных проводов в омах:
>> Z4a=Z4+Za
Z4a =
0.0000 +30.1593i
>> Z4b=Z4+Zb
Z4b =
58.4829 +30.1593i
>> Z4c=Z4+Zc
Z4c =
0.0000 +30.1593i
Определим узловое напряжение в вольтах и токи в линейных проводах по методу двух узлов в амперах:
>> UnN=((Ea/Z4a)+(Eb/Z4b)+(Ec/Z4c))/((1/Z4a)+(1/Z4b)+(1/Z4c))
UnN =
85.9799 -11.6607i
>> Ia=(Ea-UnN)/Z4a
Ia =
-3.2506 - 3.4490i
>> Ib=(Eb-UnN)/Z4b
Ib =
-4.4105 + 0.5982i
>> Ic = (Ec-UnN)/Z4c
Ic =
7.6611 + 2.8509i
Проверка по первому закону Кирхгофа: Ia+Ib+Ic=0.
Определяем потенциалы узлов в вольтах:
>> fiA=Ea
fiA =
1.9000e+002 -1.0970e+002i
>> fiB=Eb
fiB =
-1.9000e+002 -1.0970e+002i
>> fiC=Ec
fiC =
1.3434e-014 +2.1939e+002i
>> fia = Ea-(Ia*Z4)
fia =
85.9799 -11.6607i
>> fib = Eb-(Ib*Z4)
fib =
-1.7196e+002 +2.3321e+001i
>> fic = Ec-(Ic*Z4)
fic =
85.9799 -11.6607i
Осуществим обратный переход к схеме треугольника.
Комплексы ЭДС фаз генератора в вольтах:
>> Eab=Ea-Eb
Eab =
380
>> Ebc=Eb-Ec
Ebc =
-1.9000e+002 -3.2909e+002i
>> Eca=Ec-Ea
Eca =
-1.9000e+002 +3.2909e+002i
Проверка: Eab+Ebc+Eca=0
Определим комплексные значения нагрузочных напряжений в вольтах:
>> Uab=fia-fib
Uab =
2.5794e+002 -3.4982e+001i
>> Ubc=fib-fic
Ubc =
-2.5794e+002 +3.4982e+001i
>> Uca=fic-fia
Uca =
3.8163e-007 -6.5537e-007i, принимаем Uca=0.
Проверка: Uab+Ubc+Uca=0.
Определим комплексные значения токов в потребителях нагрузки в амперах:
>> Iab=Uab/R1
Iab =
2.1676 - 0.2940i
>> Ibc=Ubc/R2
Ibc =
-2.2430 + 0.3042i
>> Ica=Uca/Z3
Ica =
5.4182 + 3.1551i
Проверка по первому закону Кирхгофа: Ia + Ica=Iab; Ib + Iab=Ibc; Ic + Ibc=Ica.
Проверка по балансу мощностей.
Комплексное значение полной мощности источников в вольт-амперах:
>> Si = (Ea*Ia') + (Eb*Ib') + (Ec*Ic')
Si =
1.1586e+003 +3.2902e+003i
Комплексное значение полной мощности потребителей в вольт-амперах:
>>Sp = (Iab*Iab'*Z1) + (Ibc*Ibc'*Z2) + (Ica*Ica'*Z3) + (Ia*Ia'*Z4) + (Ib*Ib'*Z4) + (Ic*Ic'*Z4)
Sp =
1.1586e+003 +3.2902e+003i