2.2. Решение
Для расчёта перейдём от мгновенных значений ЭДС и токов к их комплексным значениям, заменив два источника ЭДС в первой ветви на один эквивалентный источник, а также введём комплексы полных сопротивлений ветвей цепи (рис. 2.2).
Рис. 2.1. Схема электрической цепи
Рис. 2.2. Схема электрической цепи в комплексном виде
,
.
Представим исходные данные цепи в среде MATLAB.
Индуктивности в генри:
>> L1=1.27*10^(-3);
>> L2=3.18*10^(-3);
Ёмкость конденсатора в фарадах:
>> C2=3.98*10^(-6);
Активное сопротивление в омах:
>> R3=25;
Частота сети в герцах:
>> f=1000
Угловая частота в рад/с:
>> w=2*pi*f
w =
6.2832e+003
Комплексные значения ЭДС в вольтах:
>> E1=70.5/sqrt(2)*exp(j*pi/180*0)
E1 =
49.8510
>> E3=84.6/sqrt(2)*exp(j*pi/180*(-30))
E3 =
51.8067 -29.9106i
Комплексы полных сопротивления ветвей цепи в омах:
>> Z1=j*
*L1
Z1 =
0 + 7.9796i
>> Z2=j*( *L2-1/( *C2))
Z2 =
0 -19.8825i
>> Z3 = R3
Z3 =
25
Комплексы проводимостей ветвей в сименсах:
>> Y1=1/Z1
Y1 =
0 - 0.1253i
>> Y2=1/Z2
Y2 =
0 + 0.0503i
>> Y3=1/Z3
Y3 =
0.0400
Используя метод двух узлов, находим в среде MATLAB комплексное значение напряжения между узлами a и b в вольтах, а также определяем модуль в вольтах и аргумент в градусах комплексного напряжения.
>> Uab = ((E1*Y1) + (E3*Y3)) / (Y1+Y2+Y3)
Uab =
88.7238 -19.6828i
>> mod = abs (Uab)
mod =
90.8803
>> fi=(180/pi)*angle(Uab)
fi =
-12.5081
Определяем комплексные значения токов в ветвях в амперах, а также определяем их модули в амперах и аргументы в градусах.
Задаваясь направлениями обхода контуров, для левого контура по второму закону Кирхгофа запишем уравнение:
,
откуда
.
Для второй ветви по закону Ома определяем комплексное значение тока
.
Для правого контура по второму закону Кирхгофа запишем уравнение
,
откуда
.
Решаем в среде MATLAB:
>> I1 = (E1-Uab)*Y1
I1 =
2.4663 + 4.8708i
>> mod1 = abs (I1)
mod1=
5.4596
>> fi1 = (180/pi)*angle (I1)
fi1=
63.1451
>> I2=Uab*Y2
I2 =
0.9900 + 4.4628i
>> mod2= abs (I2)
mod2 =
4.5713
>> fi2 = (180/pi)*angle (I2)
fi2 =
77.4919
>> I3 = (E3-Uab)*Y3
I3 =
-1.4767 - 0.4091i
>> mod3 = abs (I3)
mod3 =
1.5327
>> fi3 = (180/pi)*angle (I3)
fi3 =
-164.5147
Округляя полученные значения токов с точностью до сотых долей ампера, производим проверку по первому закону Кирхгофа: I1 - I2 + I3 = 0, значит вычисления выполнены верно.
Комплексы полных мощностей источников в вольт-амперах (ВА):
>> S1i=E1*I1'
S1i =
1.2295e+002 -2.4285e+002i
>> S3i=E3*I3'
S3i =
-64.2665 + 65.3631i
>> Si=S1i+S3i
Si =
5.8681e+001 -1.7745e+002i
Активная мощность источников в ваттах (Вт):
>> Pi = real (Si)
Pi =
58.6810
Рективная мощность источников в вольт-амперах реактивных (BAр):
>> Qi = imag (Si)
Qi =
-177.4511
Комплексы мощностей потребителей и проверка по балансу мощностей.
Активная мощность потребителей в ваттах:
>> Pp = real (Z3*I3*conj (I3))
Pp =
58.7001
Баланс активных мощностей источников и потребителей с точностью до десятых долей ватта сходится.
Реактивные мощности потребителей в вольт-амперах реактивных:
>> Q1p = imag (Z1*I1*conj (I1))
Q1p =
237.8506
>> Q2p = imag (Z2*I2*conj (I2))
Q2p =
-415.4783
>> Qp = Q1p+Q2p
Qp =
-177.6278
Баланс реактивных мощностей источников и потребителей с точностью до десятых долей вольт-ампера реактивного практически сходится.