1.3. Расчёт токов ветвей цепи методом контурных токов
Расчётная схема цепи представлена на рис. 1.3. В схеме введены обозначения контурных токов: J1, J2, J3.
Количество уравнений равно количеству ветвей минус количество узлов плюс единица В-У+1=3. Таким образом, необходимо составить систему из трёх уравнений:
где R11, R22, R33 - собственные сопротивления контуров;
R12, R13, R21, R23, R31, R32 - общие сопротивления контуров;
E2,E3 – ЭДС ветвей.
Определим собственные сопротивления контуров в омах:
>> R11 = R4+R5+R6
R11 =
51
>> R22 = R1+R2+R4
R22 =
39
>> R33 = R1+R3+R6
R33 =
45
Рис. 1.3. Схема электрической цепи
Определим общие сопротивления контуров в омах:
>> R12 = R4
R12 =
12
>> R21 = R12
R21 =
12
>> R13 = R6
R13 =
22.5000
>> R31 = R13
R31 =
22.5000
>> R23=R1
R23 =
19.5000
>> R32 = R23
R32 =
19.5000
Величины ЭДС ветвей в вольтах:
>> E2 = 18;
>> E3 = 30;
Изобразим квадратную матрицу сопротивлений в омах в виде вектора-строки:
>> R = [R11 -R12 -R13;-R21 R22 -R23;-R31 -R32 R33].
Тогда матрица сопротивлений в омах изобразится в виде:
R
=
Вектор-столбец ЭДС в вольтах изобразим в виде вектора-строки:
>> E = [0;18;-30],
тогда вектор-столбец ЭДС в вольтах изобразится в виде:
E
=
.
Определяем вектор-столбец контурных токов в амперах:
>> J = inv(R)*E
J =
Контурные токи в амперах:
>> J1 = -0.4715;
>> J2 = -0.1720;
>> J3 = -0.9769;
Определяем значения токов ветвей цепи в амперах:
>> I1 = J2-J3
I1 =
0.8049
>> I2 = -J2
I2 =
0.1720
>> I3 = -J3
I3 =
0.9769
>> I4 = J2-J1
I4 =
0.2995
>> I5 = -J1
I5 =
0.4715
>> I6 = J1-J3
I6 =
0.5054
Таким образом, значения токов ветвей цепи равны:
I1 = 0,8049A, I2 = 0,1720A, I3 = 0,9769A, I4 =0,2995A, I5 = 0,4715A, I6 = 0,5054A.
1.4. Расчёт токов ветвей цепи методом узловых потенциалов
Расчётная
схема цепи представлена на рис. 1.4,
которая преобразована из заданной схемы
рис. 1.2 в эквивалентную схему. В
преобразованной схеме введены следующие
обозначения: проводимости ветвей G,
источники тока J,
потенциалы узлов
.
Рассчитаем проводимости ветвей в сименсах:
>> G1 = 1/R1
G1 =
0.0513
>> G2 = 1/R2
G2 =
0.1333
Рис. 1.4. Схема электрической цепи
>> G3=1/R3
G3 =
0.3333
>> G4=1/R4
G4 =
0.0833
>> G5=1/R5
G5 =
0.0606
>> G6=1/R6
G6 =
0.0444
Рассчитаем собственные проводимости узлов 1, 2, 3 в сименсах:
>> G11=G2+G4+G5
G11 =
0.2772
>> G22=G1+G4+G6
G22 =
0.1790
>> G33=G3+G5+G6
G33 =
0.4383
Определим взаимные проводимости узлов 1, 2, 3 в сименсах:
>> G12=G4
G12 =
0.0833
>> G13=G5
G13 =
0.0606
>> G21=G12
G21 =
0.0833
>> G23=G6
G23 =
0.0444
>> G31=G13
G31 =
0.0606
>> G32=G23
G32 =
0.0444
Определим величины источников тока цепи в амперах:
>> J2 = E2*G2
J2 =
2.3994
>> J3 = E3*G3
J3 =
9.9990
Вектор-столбец источников тока в амперах изобразим в виде вектора-строки:
>> J=[J2;0;J3],
тогда вектор-столбец источников тока в амперах изобразится в виде:
J =
.
Количество уравнений равно количеству узлов минус единица У-1= 3. Таким образом, необходимо составить по методу узловых потенциалов систему из трёх уравнений:
Изобразим квадратную матрицу проводимостей в сименсах в виде строки:
>> G = [G11 -G12 -G13;-G21 G22 -G23;-G31 -G32 G33],
тогда матрица проводимостей в сименсах изобразится в виде:
G
=
Определим вектор потенциалов узлов в вольтах:
>> = inv(G)*J
=
,
где 1=19,2888В, 2=15,6907В, 3=27,0695В.
Определим токи в ветвях в амперах:
>> I1 = 2*G1
I1 =
0.8049
>> I2 = ( 1-E2)*G2
I2 =
0.1718
>> I3 = (E3- 3)*G3
I3 =
0.9767
>>I4 = ( 1- 2)*G4
I4 =
0.2997
>> I5 = ( 3- 1)*G5
I5 =
0.4715
>> I6 = ( 3- 2)*G6
I6 =
0.5052
Таким образом, значения токов ветвей цепи равны:
I1 = 0,8049A, I2 = 0,1718A, I3 = 0,9767A, I4 =0,2997A, I5 = 0,4715A, I6 = 0,5052A.
Результаты сравнения значений токов в ветвях цепи, полученных при расчётах тремя методами, приводят к выводу, что величины токов в ветвях цепи необходимо округлить до значений третьего порядка, тогда значения токов будут равны: I1 = 0,805A, I2 = 0,172A, I3 = 0,977A, I4 =0,300A, I5 = 0,472A, I6 = 0,505A.