Смешанное произведение векторов
Задача 1
Вектор
перпендикулярен векторам
и
,
угол между которыми
.
Зная, что
=6,
=3,
=3,
вычислить смешанное произведение
Ответ:108
Задача 2
Вектора
,
образующие правую тройку взаимно
перпендикулярны. Зная, что
=4,
=2,
=3,
вычислить смешанное произведение
векторов
Ответ:24
Задача 3
Установить
компланарны ли векторы
,
если
(2;3;-1), (1;-1;3), (1;9;-11)
(3;-2;1), (2;1;2), (3;-1;-2)
(2;-1;2), (1;2;-3), (3;-4;7)
Ответ:
1) Вектора компланарны;
2) Вектора не компланарны;
3) Вектора компланарны.
Задача 4
Доказать, что точки А (1;2;-1), В (0;1;5), С (-1;2;1), D (2;1;3) лежат в одной плоскости.
Задача 5
Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках:
А (2;-1;1), В (5;5;4), С (3;2;-1), D (4;1;3).
Ответ: 3.
Задача 6
Даны вершины тетраэдра А (2;3;1), В (4;1;-2), С (6;3;7), D (-5;4;8).
Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
Ответ: 28
Задача 7
Объём тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А (2;1;-1), В (3;0;1), С (2;-1;3).
Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси OY.
Ответ:
Уравнение плоскости
Задача 1
Составить
уравнение плоскости, которая проходит
через начало координат перпендикулярно
вектору
(5;0-3)
Ответ: 5х-3z=0
Задача 2
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
(3;4;-5)
параллельно векторам:
(3;1;-1);
(1;-2;1)
Ответ: 2x-y-z-6=0
Задача 3
Установить какие из следующих пар уравнений прямых параллельны плоскости:
1) 2x-3y+5z-7=0; 2x-3y+5z+3=0
2) 4x+2y-4z+5=0; 2x+y+2z-1=0
3) x-3z+2=0; 2x-z-7=0
Ответ: 1 – параллельны, 2 – не параллельны, 3 – параллельны
Задача 4
Определить при каком значении L следующие пары уравнений будут перпендикулярны плоскости:
1) 3х-5у+Lz-3=0; x+3y+2z+5=0
2) 5x+y-3z-3=0; 2x+Ly-3z+1=0
Ответ: 1) L=6; 2) L=-19
Задача 5
Составить
уравнение плоскости, которая проходит
через
(3;-2;-7)
параллельно плоскости
2x-3z+5=0.
Ответ: 2x-3z-27=0
Задача 6
Составить уравнение плоскости, которая проходит через (2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям:
Ответ: x+2z-4=0
Задача 7
Плоскость проходит, через (6;-10;1) и отсекает на оси абсцисс отрезок
а=-3, на оси ординат с=2. Составить для плоскости уравнение в отрезках.
Ответ:
+
+
=1
Задача 8
Найти расстояние от Р(-1;1;-2) до плоскости, проходящей через 3 точки:
1) (1;-1;1)
2)
(-2;1;3)
3)
(4;-5;-2)
Ответ: 4.
Уравнение прямой на плоскости
Задача 1
Даны уравнения двух сторон параллелограмма : 8х+3у+1=0 и 2х+у-1=0. Уравнение одной из диагоналей 3х+2у+3=0 . Определить координаты вершин параллелограмма.
Ответ: A(2, 4), B(-3, 7), C(-6, 6), E(-2, 5).
Задача 2
Найти точку Q симметричную точке D (5; 13) относительно прямой
2х-3у-3=0
Ответ: (13;8)
Задача 3
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (4; -1), а также уравнение высоты: 2х-3у+12=0 и медианы 2х+3у=0, проведённой их первой вершины.
Ответ:
уравнение АВ имеет вид 9х+11у+5=0
уравнение АС имеет вид 3х+7у-5=0
уравнение ВС имеет вид 3х+2у-10=0
Задача 4
Определить при каких значениях m и n, две прямые:
х+8у+n=0
2x+my-1=0
1) Параллельны
2) Совпадают
3) Перпендикулярны
Ответ:
Задача 5
Определить угол, образованный двумя прямыми:
1) 3х-у+5=0, 2х+у-7=0
2)х
+у
-2=0,
х
-3у+3=0
Ответ:
30о
45o