Задача 6

Побудувати гру, задану задачею лінійного програмування:

6.1. .

Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем. Лабораторне заняття №22.

Тема заняття: Розв’язання задач нелінійного програмування класичним методом.

Мета: сформувати вміння та навички розв’язання задач нелінійного програмування класичним методом.

Методичні рекомендації: Вивчити лекцію №7 та ознайомиться з наступною літературою [2 с. 183-208], [3 с. 252-294].

Постановка завдання:

Знайти такий вектор , що належить області допустимих рішень цільова функція від якого

Зауваження:

1. Пошук максимуму функції зводиться до задачі визначення мінімуму функції шляхом заміни знака перед функцією на протилежний:

2. Задача пошуку максимуму та мінімуму цільової функції зветься задачею пошуку екстремуму:

3. Якщо безліч допустимих рішень U задається обмеженнями, що накладаються на вектор х, то вирішується завдання пошуку умовного екстремуму. Якщо, обмеження на вектор х відсутні, то вирішується завдання пошуку безумовного екстремуму.

4. Рішенням задачі пошуку екстремуму є пара яка включає точку х^* та значення цільової функції f в цій точці.

Нагадаємо, що точка зветься точкою глобального мінімуму (або просто мінімуму), якщо на множені U функція досягає свого мінімального значення, тобто

точка зветься точкою локального мінімуму функції f на множені U, якщо >0, що < то

Тут - евклідова норма вектора х.

3. Необхідні та достатні умови безумовного екстремуму функції. Необхідні умови першого порядку

Нехай є точка локального екстремуму функції f(х) на множені та функція f(х) диференційована в точці х^*. Тоді градієнт f(х) в цій точці дорівнює 0:

(6)

або

(7)

Точка, яка задовольняє умові (6) або (7) зветься стаціонарною.

Необхідні умови екстремуму функції другого порядку

Нехай є точка локального мінімуму (максимуму) функції f(х), визначеної на множені та функція f(х) двічі диференційована в цій точці. Тоді матриця Гессе функції f(х), обчисленая в точці х^*, є додатньо напіввизначеною (від’ємно напіввизначеною) тобто Н(х^*)≥0 (Н(х^*)≤0).

Достатні умови екстремуму

Нехай функція f(х) двічі диференційована в точці , її градієнт дорівнює 0, а матриця Гессе є додатньо визначеною (від’ємно визначеною) тобто та Н(х)>0 (Н(х)<0).

Тоді х^* - точка локального мінімуму (максимуму) функції f(х) на множені .

Перевірка виконання умов функції на екстремум.

Розглянемо матрицю Гессе в стаціонарній точці х^*

Н= =

Критерій Сильвестра перевірки достатніх умов екстремуму.

1. Для того щоб матриця Гессе Н (х^*) була позитивно визначеною і стаціонарна точка х^* була точкою локального мінімуму, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів були строго додатні:

>0, >0, …., >0.

2. Для того щоб матриця Гессе Н (х^*) була негативно певної і стаціонарна точка х^* була точкою максимуму, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувалися, починаючи з негативного

<0, >0,…,(-1)ⁿ >0.

Приклад 1. Дослідити функцію f( ) = x₁³ – 2x₁x₂ + x₂³ на опуклість (вгнутість). Знайдемо частинні похідні:

Запишемо матрицю Н та обчислимо головні мінори.

Якщо x₁ > 0 i x₂ >  , то функція f( ) = x₁³ – 2x₁x₂ + x₂³ опукла. Якщо x₁ < 0 i x₂ >  , то функція строго вгнута, бо визначник першого порядку від’ємний, а визначник другого порядку – додатний.

Приклад 2.

Знайти екстремум функції на множені R²:

1. Записуємо необхідні умови екстремуму першого порядку

З системи рівнянь знаходимо стаціонарну точку .

Перевіряємо виконання достатніх умов екстремуму другого порядку.

Матриця Гессе в точці х^* має вигляд .

Оскільки то достатні умови екстремуму не виконуються. Необхідні додаткові дослідження.