4 Взнос на амортизацию единицы (периодический взнос на погашение кредита)

Амортизацией называется процесс погашения долга с течением времени. Показывает, каким будет обязательный периодический платеж по кредиту, включающий процент и выплату части основной суммы и позволяющий погасить кредит в течение установленного срока. Определяется как величина обратная стоимости аннуитета.

Каждый равновеликий взнос на амортизацию единицы включает:

- процент – доход на инвестиции;

- выплату части первоначальной основной суммы кредита.

Взнос на амортизацию единицы определяется как отношение одного платежа к первоначальной сумме кредита:

, (13)

где r – периодическая ставка процента;

i – число периодов;

a_n – текущая стоимость аннуитета.

Расчет обычного взноса на амортизацию единицы в i-том периоде осуществляется по формуле:

(14)

Платеж n – ного периода (РМТ) – это единовременный денежный вклад в этом периоде.

5 Накопление (рост) единицы за период (фактор будущей стоимости аннуитета)

Позволяет рассчитать величину накопленных равновеликих взносов при заданной ставке дохода, определить, какая сумма будет накоплена на счете, если вносить ежегодно равные суммы при известном банковском проценте.

, (15)

где S_n – текущая стоимость аннуитета.

Расчет будущей стоимости обычного аннуитета осуществляется по формуле:

(16)

Если платежи поступают в начале периода (авансовый аннуитет), то применяется формула:

(17)

Расчет будущей стоимости авансового аннуитета проводят по следующей формуле:

(18)

6 Фактор фонда возмещения

Показывает денежную сумму, которую необходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов накопления составили нужную сумму при заданной ставке процента. Это величина обратная фактору накопления единицы за период.

При расчете фактора фонда возмещения используется формула:

(19)

Математическая запись соответствует формуле:

(20)

Если депонирование денежных сумм производится в начале периода, то следует воспользоваться формулой фактора фонда авансового возмещения:

(21)

2.2 Примеры решения типовых задач

Пример 1

Клиент положил в банк 100 тыс.руб. на 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет. Какая сумма образуется на счете к концу срока, если ставка банковского процента составляет 20% (процент простой, считать, что в году 360 дней).

Решение:

90 дней :

100 тыс.руб. * (1 + 90/360*0,2) = 105 тыс.руб.

180 дней:

100 тыс.руб. * (1 + 180/360*0,2) = 110 тыс.руб.

1 год:

100 тыс.руб. * (1 + 1 * 0,2) = 120 тыс.руб.

5 лет:

100 тыс.руб. * (1+5*0,2) = 200 тыс.руб.

10 лет:

100 тыс.руб.*(1+10*0,2) = 300 тыс.руб.

Пример 2

Предоставлена ссуда в банке 50 тыс.руб. с 10 февраля по 10 июня под 22% годовых (год не високосный, простой процент). Рассчитать различными способами сумму к погашению: при точном проценте и точном числе дней ссуды; при обыкновенном проценте и точном числе дней ссуды; при обыкновенном проценте и приближенном числе дней.

Решение:

Возможные варианты возврата долга:

1) Точные проценты (Т- 365) и точное число дней ссуды (t - точное):

Точное число дней:

161 – 41= 120 дней.

50 тыс.руб. * (1 + 120/365 * 0,22) = 53,616 тыс.руб.

2) Обыкновенные проценты (Т- 360) и точное число дней ссуды (t - точное):

50 тыс.руб. * (1 + 120/360 * 0,22) = 53,667 тыс.руб.

3) Обыкновенные проценты (Т- 360) и приближенное число дней ссуды (t - приближенное):

Приближенное число дней:

18 дней февраля (59-41) + 90 дней (по 30 дней март, апрель, май) + 10 дней июня = 118 дней.

50 тыс.руб. * (1 + 118/360 * 0,22) = 53,606 тыс.руб.

Пример 3

Коммерческим банком выдан кредит в сумме 700 000 руб. под простой процент – 8% годовых. Определить величину погасительного платежа, если срок пользования кредитом составляет 4 года и 8 месяцев. Год принимаем 360 дней.

Решение:

Д = С * (1+r*i) = 700 000 * (1 + 0.08 * 4.6) = 957 600 руб.

Пример 4

Банк выдал кредит на сумму 10 000 у.е. под сложный процент 6 % годовых. Определить величину погасительного платежа, если срок пользования кредитом составляет 4 года.

Решение:

Д = С * (1+r)ⁱ = 10 000 * (1 + 0,06)⁴ = 12 624,7 у.е.

Пример 5

Кредит 15 000 руб. Определить величину погасительной суммы через 36 месяцев, при условии, что начисляется сложный процент раз в пол- года по ставке 8% годовых.

Решение:

Д = С * (1+r)ⁱ = 15 000 * (1 + 0,04)⁶ = 18 979,8 у.е.

Пример 6

Какова будет величина процентной ставки, которую вы получите в конце года, если дадите в долг 500 000 руб., а вернут вам 540 000 руб.

Решение:

Д = С * (1+r)ⁱ

540 000 = 500 000 * (1+r*1)¹

40 000 / 500 000 * 100% = 8% годовых.

Пример 7

Вы решили оставить в банке 20 000 руб. на 4 года, к концу этого срока вам необходимо иметь 28 000 руб., при сложной процентной ставке 10% годовых. Хватит ли денег на счете к указанному времени?

Решение:

Д = 20 000 * (1 + 0,1)⁴ = 29 282 руб. – денег будет достаточно

С = Д / (1+r)ⁱ = 28 000 / (1+0,1)⁴ = 19 124,4 руб. необходимо положить сегодня, чтобы через 4 года при ставке 10% иметь 28 000 руб. вместо вложенных 20 000 руб., то есть денег достаточно.

Пример 8

Банковская процентная ставка по вкладам составляет 10%. Начальная сумма 10 тыс.у.е. Начисление процентов проводится в конце года, квартала, месяца. Определите накопленные суммы через пять лет.

Решение:

1) годовое накопление:

Д_год = 10 тыс.у.е. * (1 + 0,1)⁵ = 16,105 тыс.у.е.

2) квартальное накопление:

Д_кв = 10 тыс.у.е. * (1 + 0,1 / 4)^{5 * 4} = 16,386 тыс.у.е.

3) месячное накопление:

Д_мес = 10 тыс.у.е. * (1 + 0,1 / 12)^{5 * 12} = 16,453 тыс.у.е.

Эффективная ставка составит:

при годовом накоплении – 10%

при квартальном накоплении – 10,38%

при ежемесячном накоплении – 10,47%

Таким образом, при одной и той же ставке более частое накопление приводит к более быстрому росту основной суммы.

Пример 9

Какую сумму необходимо положить на депозит под 10% годовых, чтобы затем 4 раза снять по 100 у.е. (необходимо обеспечить 100 у.е. дохода в конце года при ставке 10% дисконта):

Стоимость 1-го поступления 90,91 ( )

2-го 82,64 ( )

3-го 75,13 ( )

4-го 68,30 ( )

Сумма: 90,91 + 82,64 + 75,13 + 68,30 = 316,98 у.е.

Таким образом, сегодняшние вложения в 316,98 у.е. будут платой за право ежегодного получения 100 у.е. в течение 4-х лет (получим за 4 года 400 у.е. вкладываем 316,98. Разница между суммой вклада и полученной суммой обеспечивается начисленными процентами):

Для проверки правильности расчетов рассмотрим метод «депозитной книжки». Вклад в 316,98 у.е. позволит 4 раза в конце года снять по 100 у.е., если банк начисляет 10% на остаток суммы.

Дано: Депозит 316,98 у.е.,

r = 10%,

срок = 4 года при ежегодном изъятии 100 у.е.

год	Остаток на начало года	+10% на остаток	- годовое изъятие	Остаток на конец года
1	316,98	= 316,98 * 0,1 = 31,7	-100	= 316,98 = 31,7 – 100 = 248,68
2	248,68	= 248,68 * 0,1 = 24,87	-100	= 248,68 + 24,87 – 100 = 173,55
3	173,55	= 173,55 * 0,1 = 17,36	-100	= 173,56 + 17,36 – 100 = 90,91
4	90,91	= 90,91 * 0,1 = 9,09	-100	= 90,91 + 9,09 – 100 = 0

Пример 10

Какова текущая стоимость арендных платежей, поступающих в конце каждого года в размере 1000 у.е. на протяжении 7 лет при ставке дисконта 10%.

Решение:

(1+0,1)^-7=0,513158

Пример 11

Какую сумму можно ежегодно снимать со счета в течение 5 лет, если первоначальный вклад равен 1500 у.е., банк начисляет ежегодно 14% и при условии, что снимаемые суммы будут одинаковы.

Решение:

Таким образом, при вложении на счет под 14% годовых 1500 у.е., можно пять раз в конце года снять по 437 у.е.

(437*5) – 1500 = 685 у.е. являются результатом начисления процентов на уменьшающийся остаток вклада.

Пример 12

Рассчитать величину ежегодного взноса в погашение кредита в сумме 40 000 тыс.у.е., предоставленного на 15 лет под 20 % годовых.

Решение:

Таким образом, заемщик уплатил кредитору за 15 лет

8555,3 * 15 = 128329,3 тыс.у.е., что превышает величину выданного кредита на

128329,3 – 40000 =88329,3 тыс.у.е.

Разница является суммой процентов, уплаченных заемщиком за весь период кредитования, при условии, что основной долг постоянно уменьшается.