2. Параллельная цепь

2.1. Затухающие колебания в параллельном контуре

Н айти частоту затухающих колебаний параллельного контура, в каждую ветвь которого включены по отдельности емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R.

Рисунок 6 – Параллельная цепь с емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением по отдельности в каждой ветви: i₁ – сила тока, текущего через емкость; i₂ - сила тока, текущего через нагрузку; i – сила тока, текущего через индуктивность

Определим силы токов как производные от зарядов по времени:

I₁ = - q^/₁, I₂ = - q^/₂ .

Пусть q = q₁ + q₂ , т.к. заряды в узлах цепи не накапливаются. Напряжение на всех элементах цепи одинаковое, а токи через них разные (как и в цепи постоянного тока):

LI^ ₁ = RI₂ = . (41)

Тогда

CL q^//₁ + (q₁ + q₂) = 0 . (42)

для первого равенства из (41) и

RC q^/₂ + q₁ + q₂ = 0. (43)

для второго.

Положим, что заряды изменяются по гармоническому закону:

q₁ = Ae^it , q₂ = B e^+it,

где i – мнимая единица, А и В – постоянные величины с размерностью заряда. Их можно считать действительными.

Тогда из (42) и (43):

(1 - ² L C) A + B = 0,

A + (1 + i R C)B = 0.

Ненулевые решения этой системы однородных алгебраических уравнений относительно А и В возможно тогда, когда определитель системы равен нулю:

(1 - ² L C) (1 + i R C) = 1,

или

i R C - ² L C - ³ L R C² = 0,

или

L R C² ² - i L C - RC = 0,

² - i , .

Таким образом

,

и т.д. для остальных гармонически меняющихся величин.

Частота затухающих колебаний равна ₀. Колебания возможны, если , т.е. .

Это условие аналогично условию ₀ > , с которым мы уже встречались в механике.

2.2. Вынужденные колебания в параллельном контуре

Рассмотрим цепь, представленную на рис 7. Известно, что в такой цепи может существовать явление, называемое резонансом токов. Для исследования этого явления детально рассмотрим цепь параллельно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 7).

Рисунок 7 – Параллельная цепь переменного тока. ее элементы и силы токов в них: U – напряжение, I₁, I₂, I₃ – токи в ветвях цепи; I – общий ток в цепи, R – сопротивление; L – катушка индуктивности; С – конденсатор

Пусть генератор задает переменное напряжение:

, (43)

где U₀ – амплитуда колебания напряжения на зажимах генератора (В);  - частота этих колебаний, задаваемая конструкцией генератора .

Анализ цепи будем проводить с применением законов Кирхгофа.

Рассмотрим контур АВВ^/А^/. Зададимся обходом контура по часовой стрелке. Второе правило Кирхгофа для контура имеет вид:

. (44)

Тогда ток через резистор:

. (45)

Величина представляет собой амплитуду колебаний силы тока в резисторе.

Так как в (43) и (45) тригонометрические функции и их аргументы одинаковы, то колебания тока в резисторе совпадает по фазе с напряжением генератора.

Рассмотрим контур АСС^/А^/. Зададимся обходом контура по часовой стрелке. Второе правило Кирхгофа для контура имеет вид:

. (46)

Подставляем (43) и находим ток через катушку:

. (47)

Величина представляет собой амплитуду колебаний силы тока в катушке индуктивности.

Так как в (43) и (47) тригонометрические функции одинаковы, но в (47) аргумент на меньше, то ток на катушке отстает от напряжения на .

Рассмотрим контур АDD^/А^/. Зададимся обходом контура по часовой стрелке. Второе правило Кирхгофа для контура имеет вид:

, (48)

где q – заряд конденсатора .

Подставляем (43) и находим заряд на конденсаторе:

, . (49)

Так как ток – это скорость изменения заряда, то ток через конденсатор

. (50)

Величина представляет собой амплитуду колебаний силы тока в конденсаторе. Так как в (43) и в (50) тригонометрические функции одинаковы, но в (50) аргумент на больше, то ток через конденсатор опережает напряжение на .

Результирующий ток в цепи найдем с помощью первого правила Кирхгофа:

. (51)

Подставляем в (51) выражения (45), (47), (50):

. (52)

Для того чтобы понять, чему равна амплитуда общего тока, а также сдвиг фаз между током и напряжением необходимо формулу (52) преобразовать к виду:

. (53)

Для получения (11) используем метод векторных диаграмм. Изобразим колебания (45), (47) и (50) на векторной диаграмме.

Рисунок 8 - Векторная диаграмма токов (значений амплитуд и фаз) в параллельной цепи: I_Cm – вектор тока текущего через емкость (длина вектора – его амплитудное значение); I_Lm - вектор тока, текущего через индуктивность; I_Rm - вектор тока, текущего через активное сопротивление; I₀ - вектор полного тока в цепи

Из векторной диаграммы (рис. 8) находим амплитуду колебаний тока в цепи:

. (54)

Угол сдвига фаз между током и напряжением определяется выражениями:

, . (55)

Из (54) видно, что амплитуда тока в цепи зависит от частоты. Определим, существует ли экстремум у этой функции. Для этого рассмотрим подкоренное выражение:

.

Вычислим производную этого выражения и приравняем ее к нулю:

. (56)

Для определения характера экстремума вычислим вторую производную:

.

В полученное выражение подставим (56):

.

Рисунок 9 – Частотная зависимость амплитуд сил токов через элементы параллельной цепи: верхняя кривая – полный ток; I_Cm – амплитуда тока, текущего через конденсатор, I_Lm – амплитуда тока, текущего через индуктивность

Так как вторая производная положительная, то (54) достигает минимума при частоте, определяемой (54). Амплитуды токов на конденсаторе и катушке индуктивности при этом равны:

.

Так как сами токи при этом находятся в противофазе (рис. 2), то суммарный ток через катушку и конденсатор равен нулю. Такое явление в электротехнике называют резонансом токов.

Построим графики зависимости от частоты суммарного тока в цепи и токов на конденсаторе и катушки индуктивности (резонансные кривые) (рис 9).