Общие способы решения тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения и сводимые к ним

Решаются с помощью специальных формул, рассмотренных выше.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Применим общую формулу:

, .

Ответ: , .

2. Уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций

Уравнения такого вида решаются сведением исходного уравнения к уравнению, зависящему лишь от одной тригонометрической функции. Для этого используются формулы, связывающие различные тригонометрические функции

( и т.д.). Затем производится замена тригонометрической функции на переменную, и уравнение решается как алгебраическое. Далее от переменной переходим к тригонометрической функции и получается простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Это квадратное уравнение относительно . Решим его введением новой переменной: ;

, , ,

, .

– посторонний корень, так как ; ,

, .

Ответ: , .

3.Однородные уравнения

Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида называют однородным уравнением второй степени.

Уравнение такого вида делим на тригонометрическую функцию, стоящую в уравнении в старшей степени. Получаем уравнение, алгебраическое относительно одной из тригонометрических функций. Метод его решения рассмотрен выше.

Пример . Решить уравнение .

Решение: Делим уравнение на (при этом мы не потеряем корней, так как если в данное уравнение поставить , то получим, что и , что невозможно). Получаем уравнение вида: .

Введем новую переменную :

; , , ,

.

, ; , .

Ответ: ;

.

4. Уравнения, сводимые к известному виду путем преобразований с помощью тригонометрических формул (суммы, разности, произведения)

Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы преобразования суммы в произведение или наоборот.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. В этом примере удобнее воспользоваться формулой синуса разности: , . Это частный случай: .

Ответ: .

5. Уравнения, решаемые понижением их порядка

Некоторые уравнения целесообразнее решать после преобразований с помощью формул удвоения. Такие замены позволяют избавиться от степени в уравнении и свести его к линейному.

Пример. Решить уравнение

Решение. Применим формулу косинуса двойного угла:

, , .

Воспользуемся формулой суммы косинусов: , , откуда .

Решаем это уравнение:

, , ; , , ,

, .

Ответ: ;

Тригонометрические неравенства

Два тригонометрических выражения, соединенных между собой знаками «>» или «<», называются тригонометрическими неравенствами.

Решить тригонометрическое неравенство – это значит найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых оно выполняется. Тригонометрические функции и имеют наименьший положительный период , а и имеют наименьший положительных период . При решении неравенств с тригонометрическими функциями следует использовать периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках.

Для того, чтобы решить неравенство, содержащее только или только , достаточно решить это неравенство на каком-либо отрезке длины . Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида , где . Для неравенств, содержащих только и , решения находятся в промежутке длиной , а множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида , где .

Тригонометрические неравенства можно решать, прибегая к графикам функций или пользуясь единичной окружностью.

Чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство нужно:

1. Провести прямую к линии соответствующей функции.

2. Выделить дугу, на которой лежат решения неравенства.

3. Найти концы этой дуги, помня, что обход совершается против часовой стрелки от меньшего числа к большему.

4. Прибавить к концам интервала числа, кратные периоду функции.

Целесообразно решать тригонометрические неравенства методом интервалов.

Метод интервалов основан на свойстве непрерывных функций. Одним из важных свойств является свойство знакопостоянства непрерывной функции: если на интервале функция непрерывна и не обращается в 0, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов:

1. Находим область определения функции , где – непрерывная функция в любой точке .

2. Решая уравнение , находим нули функции. Корни уравнения принадлежащие разбивают ее на промежутки, на каждом из которых непрерывная функция не обращается в нуль, значит, знакопостоянна.

3. Наносим и нули функции на числовую прямую.

4. Исследуем и рассматриваем знаки функции на каждом из промежутков.

5. С учетом знака неравенства записываем ответ.

При решении тригонометрических неравенств вида >0 или <0, где – периодическая функция с периодом Т, следует сначала решить его на одном периоде, например, для , а затем получившее решение периодически продолжить.

Пример1: Неравенство на интервале является простейшим типовым неравенством. Для его решения наиболее наглядно использование рисунка:

Ответ:

Пример2: Неравенство нужно преобразовать к однородному виду:

Применяем формулу

или система решений не имеет

Ответ: .