1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений

1.1. Матрицы. Действия с матрицами

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, … и записываются в виде:

или . Каждый элемент a_ij матрицы имеет два индекса i и j, которые показывают, что элемент находится в i-й строке и j-м столбце.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е. A_m×n = B_m×n, если a_ij = b_ij для любых i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

Матрицей (вектором) – строкой называется матрица, состоящая из одной строки:

.

Матрицей (вектором) – столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца:

.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n), называется квадратной матрицей порядка n.

Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы а₁₁, а₂₂, …, а_nn.

Квадратная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей n-го порядка, обозначается Е.

Например, – единичная матрица третьего порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, обозначается О.

Над матрицами можно производить следующие действия:

1. Умножение матрицы на число. При умножении матрицы А=(a_ij ) на число λ каждый ее элемент умножается на это число λА=(λa_ij ).

Пример.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А = (a_ij ) и B = (b_ij ) одинакового размера m×n называется матрица С размера m×n, С = А + B, с_ij = a_ij + b_ij для i = 1, 2, …, m; j =1, 2, …, n.

Пример. Даны матрицы

и .

Матрица

3. Вычитание матриц. Разность матриц А = (a_ij ) и B = (b_ij ) размера m×n есть матрица D размера m×n, элементы которой есть разность соответствующих элементов матриц А и В : D=А - В, d_ij = a_ij - b_ij для i =1, 2, …, m; j =1, 2, …, n.

Пример.

4. Умножение матриц. Произведением матрицы А_m×k на матрицу B_k×n называется матрица С_m×n, каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. А_m×k·B_k×n=С_m×n, где c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j +… + a_ik · b_kj. При умножении матриц число столбцов (k) первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы. Вообще говоря, А × В ≠ В × А. Матрицы А и В называются перестановочными, если А × В = В × А.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

5. Транспонирование матрицы. Матрица А^Т, полученная из матрицы А заменой ее строк соответствующими столбцами, называется транспонированной. Если А_m×n, то .

Пример.

1.2. Свойства действий с матрицами

1. А + В = В + А

2. (А + В) + С = А + (В + С)

3. λ (А + В) = λА + λВ

4. А · (В + С) = А · В + А · С

5. λ · (АВ) = (λА) · В = А · (λВ)

6. А · (ВС) = (АВ) · С

7. (А^Т)^Т = А

8. (λА)^Т = λ · А^Т

9. (А+В)^Т = А^Т + В^Т

10. (АВ)^Т = В^Т · А^Т

Примеры для самостоятельной работы

Выполнить действия над матрицами:

1. . 2. .

3. . 4. .

5.