Тема 2. Математические средства представления информации. Понятие математической модели

2.1. Числа, переменные величины, выражения. Числовые функции

Одним из основных понятий математики является понятие числа. Оно развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.

Существует большое количество определений понятия «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору. В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

В настоящее время в школьном курсе математики изучаются следующие числовые множества:

1. Положительные целые (натуральные) числа;

2. Положительные и отрицательные целые числа и нуль;

3. Рациональные числа, в которые дроби входят на равных правах с целыми числами;

4. Действительные числа, включая иррациональные числа, такие, как, например, число π

Применение математики для решения практических задач, при решении которых необходимо было описывать движение тел и изменения, происходящие в процессах и объектах, было затруднено, пока она рассматривала только постоянные величины. Одним из первых задумался над такими задачами основатель динамики Галилео Галилей (1564-1642). Он размышлял над тем, как меняется скорость падающего тела, как движется точка на ободе колеса, как качается маятник. Решить такие задачи ему удалось лишь в простейших случаях. Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины.

Это понятие было введено в математику в 17 веке французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Этим термином обозначались различные меняющиеся величины. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операции над величинами соответствовали операции над буквами. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений.

Из чисел и переменных составляются выражения. Одним из основных видов выражений являются формулы. Математика всегда была связана с вычислениями и формулами. Особенно много формул было получено при решении задач измерения – формулы вычисления длин, площадей, объемов простейших фигур. С помощью формул выражаются соотношения между различными величинами, как переменными, так и постоянными. Например, - формула объема шара, S=v*t – формула равномерного прямолинейного движения и пр.

После того, как в науку вошли переменные величины, были изучены траектории движущихся точек, была создана буквенная алгебра, внимание ученых обратилось к изучению соответствий между величинами. С помощью координат удалось изобразить эти соответствия графически. Поэтому у Декарта и у его современников понятие функции было изложено на языке геометрии. Термин «функция» (от лат «функтус» - выполнять) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В начале 19 века было дано определение числовой функции «Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению величины x соответствует единственное определенное значение величины y». В теме 3 мы вернемся к этому определению и его уточнению.