
- •Введение
- •Тема 1. Математика в современном мире: основные разделы, теории и методы математики
- •1.1. Объекты исследования математики: абстрактные понятия и абстрактные структуры
- •1.2. Аксиоматический метод
- •1.3. Индуктивный и дедуктивный методы рассуждения. Метод математической индукции
- •Метод математической индукции
- •1.4. Роль математики в современном мире
- •Тема 2. Математические средства представления информации. Понятие математической модели
- •2.1. Числа, переменные величины, выражения. Числовые функции
- •2.2 Понятие об измерении. Виды измерений. Приближенные вычисления
- •2.3. Понятие математической модели. Этапы математического моделирования
- •2.4. Виды математических моделей
- •Тема 3. Основы теории множеств и математической логики
- •3.1. Основные понятия теории множеств
- •Подмножество. Универсальное множество
- •3.2. Основные операции над множествами Равенство множеств
- •Объединение (сумма) множеств
- •Разность двух множеств. Дополнение
- •Законы теории множеств
- •3.3. Отношения и соответствия. Функции как соответствия
- •3.4. Алгебра высказываний. Логические операции и логические функции
- •Простые и составные высказывания
- •Логические операции
- •Порядок старшинства операций
- •Основные законы математической логики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 4. Структуры на множестве. Элементы комбинаторики
- •4.1. Выборки и подмножества
- •Упорядоченная и неупорядоченная выборки. Кратность элемента
- •4.2. Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •4.3. Основные правила комбинаторики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Выборки с повторениями
- •Тема 5. Случайные события и их вероятности
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •Правила действий над событиями
- •Аксиомы теории вероятностей
- •5.2. Классическое определение вероятности
- •5.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •5.3. Операции над вероятностями
- •Вероятность суммы случайных событий Теорема сложения вероятностей.
- •Вероятность произведения событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)
- •5.4. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение Формула Бернулли
- •Геометрическое распределение
- •Кривая нормального распределения
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 6. Элементы математической статистики
- •6.1. Возникновение математической статистики
- •6.2. Статистический эксперимент, его исходы и события
- •Предмет статистики. Основная задача и основной метод статистики
- •6.4. Статистическая информация и формы ее представления
- •6.5. Числовые характеристики статистических рядов
- •2. Среднее квадратическое (или стандартное) отклонение .
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Список литературы
- •Ресурсы Интернета
Тема 2. Математические средства представления информации. Понятие математической модели
2.1. Числа, переменные величины, выражения. Числовые функции
Одним из основных понятий математики является понятие числа. Оно развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.
Существует большое количество определений понятия «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору. В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».
В настоящее время в школьном курсе математики изучаются следующие числовые множества:
Положительные целые (натуральные) числа;
Положительные и отрицательные целые числа и нуль;
Рациональные числа, в которые дроби входят на равных правах с целыми числами;
Действительные числа, включая иррациональные числа, такие, как, например, число π
Применение математики для решения практических задач, при решении которых необходимо было описывать движение тел и изменения, происходящие в процессах и объектах, было затруднено, пока она рассматривала только постоянные величины. Одним из первых задумался над такими задачами основатель динамики Галилео Галилей (1564-1642). Он размышлял над тем, как меняется скорость падающего тела, как движется точка на ободе колеса, как качается маятник. Решить такие задачи ему удалось лишь в простейших случаях. Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины.
Это понятие было введено в математику в 17 веке французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Этим термином обозначались различные меняющиеся величины. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операции над величинами соответствовали операции над буквами. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений.
Из
чисел и переменных составляются
выражения. Одним из основных видов
выражений являются формулы. Математика
всегда была связана с вычислениями и
формулами. Особенно много формул было
получено при решении задач измерения
– формулы вычисления длин, площадей,
объемов простейших фигур. С помощью
формул выражаются соотношения между
различными величинами, как переменными,
так и постоянными. Например,
- формула объема шара, S=v*t
– формула равномерного прямолинейного
движения и пр.
После того, как в науку вошли переменные величины, были изучены траектории движущихся точек, была создана буквенная алгебра, внимание ученых обратилось к изучению соответствий между величинами. С помощью координат удалось изобразить эти соответствия графически. Поэтому у Декарта и у его современников понятие функции было изложено на языке геометрии. Термин «функция» (от лат «функтус» - выполнять) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В начале 19 века было дано определение числовой функции «Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению величины x соответствует единственное определенное значение величины y». В теме 3 мы вернемся к этому определению и его уточнению.