- •Введение
- •Тема 1. Математика в современном мире: основные разделы, теории и методы математики
- •1.1. Объекты исследования математики: абстрактные понятия и абстрактные структуры
- •1.2. Аксиоматический метод
- •1.3. Индуктивный и дедуктивный методы рассуждения. Метод математической индукции
- •Метод математической индукции
- •1.4. Роль математики в современном мире
- •Тема 2. Математические средства представления информации. Понятие математической модели
- •2.1. Числа, переменные величины, выражения. Числовые функции
- •2.2 Понятие об измерении. Виды измерений. Приближенные вычисления
- •2.3. Понятие математической модели. Этапы математического моделирования
- •2.4. Виды математических моделей
- •Тема 3. Основы теории множеств и математической логики
- •3.1. Основные понятия теории множеств
- •Подмножество. Универсальное множество
- •3.2. Основные операции над множествами Равенство множеств
- •Объединение (сумма) множеств
- •Разность двух множеств. Дополнение
- •Законы теории множеств
- •3.3. Отношения и соответствия. Функции как соответствия
- •3.4. Алгебра высказываний. Логические операции и логические функции
- •Простые и составные высказывания
- •Логические операции
- •Порядок старшинства операций
- •Основные законы математической логики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 4. Структуры на множестве. Элементы комбинаторики
- •4.1. Выборки и подмножества
- •Упорядоченная и неупорядоченная выборки. Кратность элемента
- •4.2. Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •4.3. Основные правила комбинаторики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Выборки с повторениями
- •Тема 5. Случайные события и их вероятности
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •Правила действий над событиями
- •Аксиомы теории вероятностей
- •5.2. Классическое определение вероятности
- •5.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •5.3. Операции над вероятностями
- •Вероятность суммы случайных событий Теорема сложения вероятностей.
- •Вероятность произведения событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)
- •5.4. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение Формула Бернулли
- •Геометрическое распределение
- •Кривая нормального распределения
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 6. Элементы математической статистики
- •6.1. Возникновение математической статистики
- •6.2. Статистический эксперимент, его исходы и события
- •Предмет статистики. Основная задача и основной метод статистики
- •6.4. Статистическая информация и формы ее представления
- •6.5. Числовые характеристики статистических рядов
- •2. Среднее квадратическое (или стандартное) отклонение .
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Список литературы
- •Ресурсы Интернета
Упражнения для самостоятельного выполнения:
1. Из колоды в 36 карт берут наугад 6 карт. Какова вероятность того, что все карты старше десятки?
2. Курсант знает 30 из 40 вопросов программы. Какова вероятность того, что он ответит: а) на три заданных вопроса; б) на 2 из 3 заданных вопросов?
3. Из колоды в 36 карт наугад берут 6 карт. Найти вероятности следующих событий: а) все карты имеют одну масть; б) все карты – красные.
4. Из урны с 8 белыми и 6 черными шарами случайным образом берут 4 шара. Найти вероятности событий:
а) все взятые шары – белые;
б) взято 2 черных шара;
в) взято белых шаров больше, чем черных;
г) взято белых шаров меньше, чем черных.
5. В первой урне находятся 5 белых и 3 чёрных шара, во второй – 4 белых и 4 чёрных шара, а в третьей – 3 белых и 5 чёрных шара. Наугад выбирается одна из урн, из нее наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется чёрным?
6. Два стрелка стреляют по одной и той же мишени независимо друг от друга. Вероятность попадания в мишень у первого стрелка равна 0,4, а у второго - 0,6. После стрельбы в мишени обнаружена пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
7. В урне 2 белых и 4 черных шара. 2 игрока достают из этой урны поочередно по одному шару, не возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до появления белого шара. Определите вероятность того, что первым достанет белый шар игрок, начинающий игру.
8. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.
9. Из 20 студентов, пришедших на экзамен, 8 подготовлены отлично, 6 хорошо, 4 посредственно и 2 плохо. В экзаменационных билетах имеется 40 вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает все 40 вопросов, подготовленный хорошо 35, подготовленный посредственно 25 и подготовленный плохо 10 вопросов. Некоторый студент ответил на все 3 вопроса билета. Найти вероятность того, что он подготовлен хорошо.
10. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго 30%, с третьего 20%, с четвертого 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым 1%, третьим 0,5% и четвертым 0,2%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь небракованная.
Тема 6. Элементы математической статистики
6.1. Возникновение математической статистики
Издавна в каждом государстве соответствующими органами власти собирались сведения о числе жителей по полу, возрасту, занятости в различных сферах труда, наличии различных воинов, вооружения, денежных средств, орудий труда, средств производства и т.д. Все эти и подобные им данные называются статистическими. С развитием государства и международных отношений возникла необходимость анализа статистических данных, их прогнозирование, обработка, оценка достоверности основанных на их анализе выводов и т.п. К решению таких задач стали привлекаться математики. Таким образом, в математике сформировалась новая область — математическая статистика, изучающая общие закономерности статистических данных или явлений и взаимосвязи между ними.
С возможностью проведения расчетов с помощью персональных компьютеров сфера применения математической статистики распространилась во многие, особенно экспериментальные, науки. Так появились экономическая статистика, медицинская статистика, биологическая статистика, статистическая физика и т.д.
Слово «статистика» происходит от латинского status (состояние, положение вещей) и в современном русском языке используется в следующих значениях:
1. Статистика – это научное направление (комплекс наук), объединяющее принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления. Оно включает в себя математическую статистику, общую теорию статистики и целый ряд отраслевых статистик (статистика промышленности, статистика финансов и др.)
2. Статистика – это отрасль практической деятельности, направленной на сбор, обработку, анализ статистических данных (например, есть органы государственной статистики)
3. Статистика – это совокупность статистических данных, характеризующих какое-нибудь явление или процесс (например, статистика рождаемости и смертности в России, статистика успеваемости учащихся и т.д.)
4. Статистика – это любая функция от результатов наблюдений (например, среднее арифметическое)
Нас интересуют элементы статистики как научного направления, прежде всего элементы так называемой «описательной» статистики, которая занимается вопросами сбора и представления первичной статистической информации в табличной и графической формах, вычисления основных числовых характеристик для совокупностей статистических данных.